10．把1至2005這2005個(gè)自然數(shù)依次寫(xiě)下來(lái)得到一個(gè)多位數(shù)123456789.....2005,這個(gè)多位數(shù)除以9余數(shù)是多少?

解：首先研究能被9整除的數(shù)的特點(diǎn)：如果各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個(gè)數(shù)也能被9整除；如果各個(gè)位數(shù)字之和不能被9整除，那么得的余數(shù)就是這個(gè)數(shù)除以9得的余數(shù)。 解題：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除

依次類(lèi)推：1~1999這些數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字之和可以被9整除

10~19，20~29……90~99這些數(shù)中十位上的數(shù)字都出現(xiàn)了10次，那么十位上的數(shù)字之和就是10+20+30+……+90=450 它有能被9整除 

同樣的道理，100~900 百位上的數(shù)字之和為4500 同樣被9整除

也就是說(shuō)1~999這些連續(xù)的自然數(shù)的各個(gè)位上的數(shù)字之和可以被9整除；

同樣的道理：1000~1999這些連續(xù)的自然數(shù)中百位、十位、個(gè)位 上的數(shù)字之和可以被9整除（這里千位上的“1”還沒(méi)考慮，同時(shí)這里我們少200020012002200320042005 從1000~1999千位上一共999個(gè)“1”的和是999，也能整除；

200020012002200320042005的各位數(shù)字之和是27，也剛好整除。 最后答案為余數(shù)為0。

11．A和B是小于100的兩個(gè)非零的不同自然數(shù)。求A+B分之A-B的最小值... 

解：(A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B)=1-2 * B/(A+B) 

前面的 1 不會(huì)變了，只需求后面的最小值，此時(shí) (A-B)/(A+B) 最大。 對(duì)于 B / (A+B) 取最小時(shí)，(A+B)/B 取最大， 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 (A+B)/B 的最大值。 

(A+B)/B =1 + A/B ，最大的可能性是 A/B =99/1 (A+B)/B =100 

(A-B)/(A+B) 的最大值是：98/100 

12．已知A.B.C都是非0自然數(shù),A/2 + B/4 + C/16的近似值市6.4,那么它的準(zhǔn)確值是多少? 

答案為6.375或6.4375 

因?yàn)锳/2 + B/4 + C/16＝8A+4B+C/16≈6.4，

所以8A+4B+C≈102.4，由于A(yíng)、B、C為非0自然數(shù)，因此8A+4B+C為一個(gè)整數(shù)，可能是102，也有可能是103。

當(dāng)是102時(shí)，102/16＝6.375 當(dāng)是103時(shí)，103/16＝6.4375

13．一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字之和是17.其中十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大1.如果把這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào),得到一個(gè)新的三位數(shù),則新的三位數(shù)比原三位數(shù)大198,求原數(shù).

答案為476

解：設(shè)原數(shù)個(gè)位為a，則十位為a+1，百位為16-2a

根據(jù)題意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198 解得a＝6，則a+1＝7 16-2a＝4 答：原數(shù)為476。

14．一個(gè)兩位數(shù),在它的前面寫(xiě)上3,所組成的三位數(shù)比原兩位數(shù)的7倍多24,求原來(lái)的兩位數(shù). 答案為24

解：設(shè)該兩位數(shù)為a，則該三位數(shù)為300+a 7a+24＝300+a a＝24 

答：該兩位數(shù)為24。 

15．把一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù),它與原數(shù)相加,和恰好是某自然數(shù)的平方,這個(gè)和是多少?

答案為121

解：設(shè)原兩位數(shù)為10a+b，則新兩位數(shù)為10b+a 它們的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）

因?yàn)檫@個(gè)和是一個(gè)平方數(shù)，可以確定a+b＝11 因此這個(gè)和就是11×11＝121

答：它們的和為121。

16．一個(gè)六位數(shù)的末位數(shù)字是2,如果把2移到首位,原數(shù)就是新數(shù)的3倍,求原數(shù).

答案為85714 

解：設(shè)原六位數(shù)為abcde2，則新六位數(shù)為2abcde（字母上無(wú)法加橫線(xiàn)，請(qǐng)將整個(gè)看成一個(gè)六位數(shù)） 再設(shè)abcde（五位數(shù)）為x，則原六位數(shù)就是10x+2，新六位數(shù)就是200000+x 根據(jù)題意得，（200000+x）×3＝10x+2 解得x＝85714 

所以原數(shù)就是857142

17．有一個(gè)四位數(shù),個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字的和是12,十位數(shù)字與千位數(shù)字的和是9,如果個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字互換,千位數(shù)字與十位數(shù)字互換,新數(shù)就比原數(shù)增加2376,求原數(shù).

答案為3963

解：設(shè)原四位數(shù)為abcd，則新數(shù)為cdab，且d+b＝12，a+c＝9

根據(jù)“新數(shù)就比原數(shù)增加2376”可知abcd+2376=cdab,列豎式便于觀(guān)察 abcd 2376 cdab 

根據(jù)d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。

再觀(guān)察豎式中的個(gè)位，便可以知道只有當(dāng)d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4時(shí)成立。 先取d＝3，b＝9代入豎式的百位，可以確定十位上有進(jìn)位。 根據(jù)a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。 再觀(guān)察豎式中的十位，便可知只有當(dāng)c＝6，a＝3時(shí)成立。 再代入豎式的千位，成立。 得到：abcd＝3963

再取d＝8，b＝4代入豎式的十位，無(wú)法找到豎式的十位合適的數(shù)，所以不成立。 

18．如果現(xiàn)在是上午的10點(diǎn)21分,那么在經(jīng)過(guò)28799...99(一共有20個(gè)9)分鐘之后的時(shí)間將是幾點(diǎn)幾分?

答案是10：20

解：（28799……9（20個(gè)9）+1）/60/24整除，表示正好過(guò)了整數(shù)天，時(shí)間仍然還是10：21，因?yàn)槭孪扔?jì)算時(shí)加了1分鐘，所以現(xiàn)在時(shí)間是10：20

19．有五對(duì)夫婦圍成一圈，使每一對(duì)夫婦的夫妻二人動(dòng)相鄰的排法有（ ）

A 768種 B 32種 C 24種 D 2的10次方中

解：根據(jù)乘法原理，分兩步： 

第一步是把5對(duì)夫妻看作5個(gè)整體，進(jìn)行排列有5×4×3×2×1＝120種不同的排法，但是因?yàn)槭菄�成一個(gè)首尾相接的圈，就會(huì)產(chǎn)生5個(gè)5個(gè)重復(fù)，因此實(shí)際排法只有120÷5＝24種。 

第二步每一對(duì)夫妻之間又可以相互換位置，也就是說(shuō)每一對(duì)夫妻均有2種排法，總共又2×2×2×2×2＝32種 綜合兩步，就有24×32＝768種。  

 

20.若把英語(yǔ)單詞hello的字母寫(xiě)錯(cuò)了,則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有 ( ) 

A 119種 B 36種 C 59種 D 48種

解：全排列5*4*3*2*1=120 有兩個(gè)l所以120/2=60

原來(lái)有一種正確的所以60-1=59

追及問(wèn)題

21．慢車(chē)車(chē)長(zhǎng)125米，車(chē)速每秒行17米，快車(chē)車(chē)長(zhǎng)140米，車(chē)速每秒行22米，慢車(chē)在前面行駛，快車(chē)從后面追上來(lái)，那么，快車(chē)從追上慢車(chē)的車(chē)尾到完全超過(guò)慢車(chē)需要多少時(shí)間？

答案為53秒 

算式是（140+125)÷(22-17)=53秒

可以這樣理解：“快車(chē)從追上慢車(chē)的車(chē)尾到完全超過(guò)慢車(chē)”就是快車(chē)車(chē)尾上的點(diǎn)追及慢車(chē)車(chē)頭的點(diǎn)，因此追及的路程應(yīng)該為兩個(gè)車(chē)長(zhǎng)的和。

 

22．在300米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上，甲乙兩個(gè)人同時(shí)同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，兩人起跑后的第一次相遇在起跑線(xiàn)前幾米？

答案為100米 300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及時(shí)間 5×500＝2500米，表示甲追到乙時(shí)所行的路程 2500÷300＝8圈……100米，表示甲追及總路程為8圈還多100米，就是在原來(lái)起跑線(xiàn)的前方100米處相遇。 

 

23．一個(gè)人在鐵道邊，聽(tīng)見(jiàn)遠(yuǎn)處傳來(lái)的火車(chē)汽笛聲后，在經(jīng)過(guò)57秒火車(chē)經(jīng)過(guò)她前面，已知火車(chē)?guó)Q笛時(shí)離他1360米，(軌道是直的),聲音每秒傳340米，求火車(chē)的速度（得出保留整數(shù)）

答案為22米/秒 算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米/秒 

關(guān)鍵理解：人在聽(tīng)到聲音后57秒才車(chē)到，說(shuō)明人聽(tīng)到聲音時(shí)車(chē)已經(jīng)從發(fā)聲音的地方行出1360÷340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。

  

24．獵犬發(fā)現(xiàn)在離它10米遠(yuǎn)的前方有一只奔跑著的野兔，馬上緊追上去，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的動(dòng)作快，獵犬跑2步的時(shí)間，兔子卻能跑3步，問(wèn)獵犬至少跑多少米才能追上兔子。

答案是獵犬至少跑60米才能追上。

解：由“獵犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知當(dāng)獵犬每步a米，則兔子每步5/9米。由“獵犬跑2步的時(shí)間，兔子卻能跑3步”可知同一時(shí)間，獵犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3＝5/3a米。從而可知獵犬與兔子的速度比是2a：5/3a＝6：5，也就是說(shuō)當(dāng)獵犬跑60米時(shí)候，兔子跑50米，本來(lái)相差的10米剛好追完 

 

25．AB兩地,甲乙兩人騎自行車(chē)行完全程所用時(shí)間的比是4:5,如果甲乙二人分別同時(shí)從AB兩地相對(duì)行使,40分鐘后兩人相遇,相遇后各自繼續(xù)前行,這樣，乙到達(dá)A地比甲到達(dá)B地要晚多少分鐘?

答案：18分鐘

解：設(shè)全程為1,甲的速度為x乙的速度為y 列式40x+40y=1 x:y=5:4 

得x=1/72 y=1/90 

走完全程甲需72分鐘,乙需90分鐘 故得解

 

26．一船以同樣速度往返于兩地之間，它順流需要6小時(shí)；逆流8小時(shí)。如果水流速度是每小時(shí)2千米，求兩地間的距離？

答案是96千米

解：（1/6-1/8）÷2＝1/48表示水速的分率 2÷1/48＝96千米，表示總路程

 

27．快車(chē)和慢車(chē)同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開(kāi)出，快車(chē)每小時(shí)行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢車(chē)行完全程需要8小時(shí)，求甲乙兩地的路程。

答案是198千米

解：相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3 時(shí)間比為3：4 

所以快車(chē)行全程的時(shí)間為8/4*3＝6小時(shí) 6*33＝198千米  

 

28．小華從甲地到乙地,3分之1騎車(chē),3分之2乘車(chē);從乙地返回甲地,5分之3騎車(chē),5分之2乘車(chē),結(jié)果慢了半小時(shí).已知,騎車(chē)每小時(shí)12千米,乘車(chē)每小時(shí)30千米,問(wèn):甲乙兩地相距多少千米?

答案是37.5千米

解：把路程看成1，得到時(shí)間系數(shù) 去時(shí)時(shí)間系數(shù)：1/3÷12+2/3÷30 返回時(shí)間系數(shù)：3/5÷12+2/5÷30 兩者之差：（3/5÷12+2/5÷30）-（1/3÷12+2/3÷30）=1/75相當(dāng)于1/2小時(shí) 去時(shí)時(shí)間：1/2×（1/3÷12）÷1/75和1/2×（2/3÷30）1/75 路程：12×〔1/2×（1/3÷12）÷1/75〕+30×〔1/2×（2/3÷30）1/75〕=37.5（千米）

 

比例問(wèn)題

29．甲乙兩人在河邊釣魚(yú),甲釣了三條,乙釣了兩條,正準(zhǔn)備吃,有一個(gè)人請(qǐng)求跟他們一起吃,于是三人將五條魚(yú)平分了,為了表示感謝,過(guò)路人留下10元,甲、乙怎么分？

答案：甲收8元，乙收2元。

解： “三人將五條魚(yú)平分，客人拿出10元”，可以理解為五條魚(yú)總價(jià)值為30元，那么每條魚(yú)價(jià)值6元。 又因?yàn)椤凹揍灹巳龡l”，相當(dāng)于甲吃之前已經(jīng)出資3*6＝18元，“乙釣了兩條”，相當(dāng)于乙吃之前已經(jīng)出資2*6＝12元。 

而甲乙兩人吃了的價(jià)值都是10元，所以，甲還可以收回18-10＝8元 乙還可以收回12-10＝2元 剛好就是客人出的錢(qián)。

 

30．一種商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售價(jià)，因此，每份利潤(rùn)下降了5分之2，那么，今年這種商品的成本占售價(jià)的幾分之幾？

答案是22/25

最好畫(huà)線(xiàn)段圖思考：

把去年原來(lái)成本看成20份，利潤(rùn)看成5份，則今年的成本提高1/10，就是22份，利潤(rùn)下降了2/5，今年的利潤(rùn)只有3份。增加的成本2份剛好是下降利潤(rùn)的2份。售價(jià)都是25份。所以，今年的成本占售價(jià)的22/25。  

 

31．一個(gè)圓柱的底面周長(zhǎng)減少25%，要使體積增加1/3，現(xiàn)在的高和原來(lái)的高度比是多少？

答案為64：27 

解：根據(jù)“周長(zhǎng)減少25％”，可知周長(zhǎng)是原來(lái)的3/4，那么半徑也是原來(lái)的3/4，則面積是原來(lái)的9/16。 根據(jù)“體積增加1/3”，可知體積是原來(lái)的4/3。 體積÷底面積＝高 現(xiàn)在的高是4/3÷9/16＝64/27，也就是說(shuō)現(xiàn)在的高是原來(lái)的高的64/27 或者現(xiàn)在的高：原來(lái)的高＝64/27：1＝64：27