三角函數(shù)

　　考試內(nèi)容：

　　角的概念的推廣�；《戎啤�

　　任意角的三角函數(shù)。單位圓中的三角函數(shù)線。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α+cos2α=1，sina/cosa=tanα，tanαcotα=1.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式。

　　兩角和與差的正弦、余弦、正切。二倍角的正弦、余弦、正切。

　　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)。周期函數(shù)。函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象。正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)。已知三角函數(shù)值求角。

　　正弦定理。余弦定理。斜三角形解法。

　　考試要求：

　　(1)了解任意角的概念、弧度的意義。能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算。

　　【導(dǎo)讀】近年的高考題中，三角函數(shù)主要考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法，復(fù)習(xí)中注意“三基”的落實(shí)。一般都在選擇題與填空題中考查，多為容易或中等難度的題目。三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律記憶口訣：一全正，二正弦，三是切，四余弦。要熟悉任意角的概念、弧度制與角度制的互化、弧度制下的有關(guān)公式、任意角的三角函數(shù)概念。

　　【試題舉例】

　　α是第四象限角，tanα=-5/12，則sinα等于(　　)

　　A.1/5 B.-1/5 C.5/13 D.-5/13

　　【答案】D

　　【解析】α是第四象限角，tanα=-5/12，則sinα=-1/1+√tana*tana=-5/13.

　　(2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定義。了解余切、正割、余割的定義。掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式。了解周期函數(shù)與最小正周期的意義。

　　【導(dǎo)讀】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式是其他公式推導(dǎo)的理論基礎(chǔ)。對(duì)于誘導(dǎo)公式，可用“奇變偶不變，符號(hào)看象限”概括。三角公式是三角函數(shù)的心臟，它貫穿于整個(gè)的三角運(yùn)算過程之中。在已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值時(shí)，要注意題設(shè)中角的范圍，并就不同的象限分別求出相應(yīng)的值。

　　【試題舉例】

　　已知簡諧運(yùn)動(dòng)f(x)=2sin(π/3x+φ)(|φ <)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，則該簡諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期T和初相φ分別為(　　)

　　A.T=6，φ=π/6 B.T=6，φ=π/3

　　C.T=6π，φ=π/6 D.T=6π，φ=π/3

　　【答案】A

　　【解析】依題意2sinφ=1，結(jié)合|φ <π/2可得φ=π/6，易得T=6，故選A.

　　(3)掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

　　【導(dǎo)讀】三角函數(shù)的化簡與求值類型的高考題型非常豐富，求值與化簡過程中應(yīng)當(dāng)注意同名三角函數(shù)與同角三角函數(shù)的化歸。不僅要能熟練推證公式(建議自己推證一遍所有公式)、熟悉公式的正用逆用，還要熟練掌握公式的變形應(yīng)用;注意拆角、拼角技巧，如α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)等;注意倍角的相對(duì)性，如3α是3a/2的倍角;注意公式的變形使用，弦切互化、三角代換、消元是三角變換的重要方法，要盡量減少開方運(yùn)算，慎重確定符號(hào)。注意“1”的靈活代換，如1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=csc2α-cot2α=tanα•cotα.應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是“函數(shù)名稱”與“正負(fù)號(hào)”的正確判斷，一般常用“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的口訣。利用同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡、求值、證明時(shí)，要細(xì)心觀察題目的特征，注意培養(yǎng)觀察、分析問題的能力，并注意做題后的總結(jié)，總結(jié)一般規(guī)律。如：“切割化弦”“1的巧代”，sinα+cosα、sinαcosα、sinα-cosα這三個(gè)式子間的關(guān)系。最后要時(shí)時(shí)注意角的范圍的討論。

　　公式應(yīng)用講究一個(gè)“活”字，即正用、逆用、變形用，還要?jiǎng)?chuàng)造條件應(yīng)用公式，如拆角、拼角技巧等。

　　【試題舉例】

　　“θ=2π/3”是“tanθ=2cos(π/2+θ)”的(　　)

　　A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

　　C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

　　【答案】A

　　【解析】tanθ=tan2/3π=-√3，2cos(π/2+θ)=2sin(-θ)=-2sin(2/3π)=-√3可知充分成立，當(dāng)θ=0°時(shí)tanθ=0,2cos(π/2+θ)=0可知不必要。故選A.

　　(4)能正確運(yùn)用三角公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明。

　　【導(dǎo)讀】化簡要求：

　　(1)能求出值的應(yīng)求出值。

　　(2)使三角函數(shù)種數(shù)盡量少。

　　(3)使項(xiàng)數(shù)盡量少。

　　(4)盡量使分母不含三角函數(shù)。

　　(5)盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。

　　常用方法：

　　(1)直接應(yīng)用公式。

　　(2)切割化弦，異名化同名，異角化同角。

　　(3)形如cosαcos2αcos22α…cos2nα的函數(shù)式，只需將分子、分母分別乘以2n+1sinα，應(yīng)用二倍角正弦公式即可。

　　注意事項(xiàng)：

　　(1)公式的熟與準(zhǔn)，要依靠理解內(nèi)涵，明確聯(lián)系應(yīng)用，練習(xí)嘗試，不可機(jī)械記憶。

　　(2)要重視對(duì)遇到的問題中角、函數(shù)名及其整體結(jié)構(gòu)的分析，提高公式選擇的恰當(dāng)性，有利于縮短運(yùn)算程序，提高學(xué)習(xí)效率。

　　(3)角的變換體現(xiàn)出將未知轉(zhuǎn)化為已知的思想方法，這是解決三角中關(guān)于角的變換問題常用的數(shù)學(xué)方法之一。

　　【試題舉例】

　　sin15°cos75°+cos15°sin105°等于(　　)

　　A.0　 B.

　　C.√3/2　 D.1

　　【答案】D

　　【解析】sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin(15°+75°)=1，選D.

　　(5)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡圖，理解A、ω、φ的物理意義。

　　【導(dǎo)讀】三角函數(shù)圖象的平移變換及伸縮變換是歷屆高考的必考知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)注意應(yīng)用逆向思維的方法去驗(yàn)證所得的結(jié)論。

　　三角函數(shù)圖象是三角函數(shù)考查的重要內(nèi)容，通過圖象及方程可以用函數(shù)的觀點(diǎn)進(jìn)一步研究其圖象與性質(zhì)。本節(jié)是圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用的內(nèi)容，命題主要突出數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，并注意三角知識(shí)的載體作用，注意和其他知識(shí)間的關(guān)聯(lián);判斷y=-Asin(ωx+φ)(ω>0)的單調(diào)區(qū)間，只需求y=Asin(ωx+φ)的相反區(qū)間即可，一般常用數(shù)形結(jié)合。而求y=Asin(-ωx+φ)(-ω<0)單調(diào)區(qū)間時(shí)，則需要先將x的系數(shù)變?yōu)檎�的，再設(shè)法求之。三角函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)分支，它除了符合函數(shù)的所有關(guān)系和共性外，還有它自身的屬性;求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí)，要盡可能地化為只含一個(gè)三角函數(shù)，且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

　　注意點(diǎn)：1.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，在中學(xué)階段，對(duì)各類函數(shù)的研究都離不開圖象，很多函數(shù)的性質(zhì)都是通過觀察圖象而得到的�！�2.作函數(shù)的圖象時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域。

　　3.對(duì)于具有周期性的函數(shù)，應(yīng)先求出周期，作圖象時(shí)只要作出一個(gè)周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個(gè)函數(shù)的圖象。

　　4.求定義域時(shí)，若需先把式子化簡，一定要注意變形時(shí)x的取值范圍不能發(fā)生變化。

　　5.解析式的求解中應(yīng)用好圖象，緊扣五點(diǎn)中的第一個(gè)零點(diǎn)，要注意圖象的升降情況，注意數(shù)形結(jié)合的思想。

　　【試題舉例】

　　已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π/3)(ω>0)的最小正周期為π，則該函數(shù)的圖象(　　)

　　A.關(guān)于點(diǎn)(π/3，0)對(duì)稱 B.關(guān)于直線x=π/4對(duì)稱

　　C.關(guān)于點(diǎn)(π/4，0)對(duì)稱 D.關(guān)于直線x=π/3對(duì)稱

　　【答案】A

　　【解析】由函數(shù)f(x)=sin(ωx+π/3)(ω>0)的最小正周期為π得ω=2，由2x+π/3=kπ得x=1/2kπ-π/6，對(duì)稱點(diǎn)為(1/2kπ-π/6，0)(k∈Z)，當(dāng)k=1時(shí)為(π/3，0)，選A.

　　(6)會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx、arccosx、arctanx表示。

　　【導(dǎo)讀】解決給式(值)求值問題常注意：注意整體思想在解題中的應(yīng)用;①要注意觀察和分析問題中各角之間的內(nèi)在聯(lián)系，把“待求角”用“已知角”表示出來.②要注意條件中角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的制約作用，確定所涉及的每一個(gè)角的范圍，以免出現(xiàn)增(失)解。

　　根據(jù)條件計(jì)算某個(gè)角的三角函數(shù)值或者求某個(gè)三角式子的值或者求某個(gè)角的大小等，在考試中選擇、填空、解答題均可出現(xiàn)，并且題目大都有一定的技巧性與靈活性。

　　【試題舉例】

　　在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=1，b=√7，c=√3，則B=　　　　.

　　【答案】5π/6

　　【解析】由正弦定理得cosB=1+3-7/2*1*√3=-√3/2，所以B=5π/6.

　　(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形。

　　【導(dǎo)讀】除了正余弦定理外，還應(yīng)掌握三角形中一些其他關(guān)系式在解題中的應(yīng)用。如在△ABC中A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，A>B⇔a>b⇔cosA

　　解斜三角形主要是已知三角形中的某些邊或角，去求另外的邊或角。多為選擇題或填空題，屬基礎(chǔ)題.(1)利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形問題：①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角;②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角).(2)利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形問題：①已知三邊，求三個(gè)角;②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。

　　【試題舉例】

　　在△ABC中，AB=√3，A=45°，C=75°，則BC等于(　　)

　　A.3-√3 B.√2 C.2 D.3+√3

　　【答案】A

　　【解析】∵AB=√3，A=45°，C=75°，由正弦定理得：

　　a/sinA=c/sinC，⇒BC/sin45°=AB/sin75°=√3/(√6+√2)/4

　　∴BC=3-√3.