數(shù)在計算機中是以二進制形式表示的。
數(shù)分為有符號數(shù)和無符號數(shù)。
原碼、反碼、補碼都是有符號定點數(shù)的表示方法。
一個有符號定點數(shù)的最高位為符號位，0是正，1是副。

以下都以8位整數(shù)為例，

原碼就是這個數(shù)本身的二進制形式。
例如
0000001 就是+1
1000001 就是-1

正數(shù)的反碼和補碼都是和原碼相同。

負數(shù)

在計算機中，負數(shù)以其正值的補碼形式表達。

什么叫補碼呢？這得從原碼，反碼說起。

　

原碼：一個整數(shù)，按照絕對值大小轉(zhuǎn)換成的二進制數(shù)，稱為原碼。

比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的 原碼。

　

反碼：將二進制數(shù)按位取反，所得的新二進制數(shù)稱為原二進制數(shù)的反碼。

取反操作指：原為1，得0；原為0，得1。（1變0; 0變1）

比如：將00000000 00000000 00000000 00000101每一位取反，得11111111 11111111 11111111 11111010。

稱：11111111 11111111 11111111 11111010 是 00000000 00000000 00000000 00000101 的反碼。

反碼是相互的，所以也可稱：

11111111 11111111 11111111 11111010 和 00000000 00000000 00000000 00000101 互為反碼的反碼是將其原碼除符號位之外的各位求反
[-3]反=[10000011]反=11111100
負數(shù)的補碼是將其原碼除符號位之外的各位求反之后在末位再加1。
[-3]補=[10000011]補=11111101
一個數(shù)和它的補碼是可逆的。

為什么要設立補碼呢？

第一是為了能讓計算機執(zhí)行減法：
[a-b]補=a補+（-b）補

第二個原因是為了統(tǒng)一正0和負0
正零：00000000
負零：10000000
這兩個數(shù)其實都是0，但他們的原碼卻有不同的表示。
但是他們的補碼是一樣的，都是00000000
特別注意，如果+1之后有進位的，要一直往前進位，包括符號位�。ㄟ@和反碼是不同的�。�
[10000000]補
=[10000000]反+1
=11111111+1
=(1)00000000
=00000000(最高位溢出了，符號位變成了0）

有人會問
10000000這個補碼表示的哪個數(shù)的補碼呢？
其實這是一個規(guī)定，這個數(shù)表示的是-128
所以n位補碼能表示的范圍是
-2^(n-1)到2^(n-1)-1
比n位原碼能表示的數(shù)多一個

又例：
1011
原碼：01011
反碼：01011 //正數(shù)時，反碼＝原碼
補碼：01011 //正數(shù)時，補碼＝原碼

-1011
原碼：11011
反碼：10100 //負數(shù)時，反碼為原碼取反
補碼：10101 //負數(shù)時，補碼為原碼取反＋1

0．1101
原碼：0.1101
反碼：0.1101 //正數(shù)時，反碼＝原碼
補碼：0.1101 //正數(shù)時，補碼＝原碼

-0．1101
原碼：1.1101
反碼：1.0010 //負數(shù)時，反碼為原碼取反
補碼：1.0011 //負數(shù)時，補碼為原碼取反＋1

總結(jié)：
在計算機內(nèi)，定點數(shù)有3種表示法：原碼、反碼和補碼

所謂原碼就是前面所介紹的二進制定點表示法，即最高位為符號位，“0”表示正，“1”表示負，其余位表示數(shù)值的大小。

反碼表示法規(guī)定：正數(shù)的反碼與其原碼相同；負數(shù)的反碼是對其原碼逐位取反，但符號位除外。

補碼表示法規(guī)定：正數(shù)的補碼與其原碼相同；負數(shù)的補碼是在其反碼的末位加1。

1、原碼、反碼和補碼的表示方法

（1）     原碼：在數(shù)值前直接加一符號位的表示法。

例如：       符號位   數(shù)值位

[+7]原=    0     0000111   B

[-7]原=    1     0000111   B

      注意：a. 數(shù)0的原碼有兩種形式：

                    [+0]原=00000000B     [-0]原=10000000B

                b. 8位二進制原碼的表示范圍：-127～+127

2）反碼：

      正數(shù)：正數(shù)的反碼與原碼相同。

      負數(shù)：負數(shù)的反碼，符號位為“1”，數(shù)值部分按位取反。

例如： 符號位    數(shù)值位

      [+7]反=   0    0000111   B

      [-7]反=   1    1111000   B

注意：a. 數(shù)0的反碼也有兩種形式，即

               [+0]反=00000000B

               [- 0]反=11111111B

           b. 8位二進制反碼的表示范圍：-127～+127

3）補碼的表示方法

1）模的概念：把一個計量單位稱之為�；蚰�數(shù)。例如，時鐘是以12進制進行計數(shù)循環(huán)的，即以12為模。在時鐘上，時針加上（正撥）12的整數(shù)位或減去（反撥）12的整數(shù)位，時針的位置不變。14點鐘在舍去模12后，成為（下午）2點鐘（14=14-12=2）。從0點出發(fā)逆時針撥10格即減去10小時，也可看成從0點出發(fā)順時針撥2格（加上2小時），即2點（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射為+2。由此可見，對于一個模數(shù)為12的循環(huán)系統(tǒng)來說，加2和減10的效果是一樣的；因此，在以12為模的系統(tǒng)中，凡是減10的運算都可以用加2來代替，這就把減法問題轉(zhuǎn)化成加法問題了（注：計算機的硬件結(jié)構(gòu)中只有加法器，所以大部分的運算都必須最終轉(zhuǎn)換為加法）。10和2對模12而言互為補數(shù)。

同理，計算機的運算部件與寄存器都有一定字長的限制（假設字長為8），因此它的運算也是一種模運算。當計數(shù)器計滿8位也就是256個數(shù)后會產(chǎn)生溢出，又從頭開始計數(shù)。產(chǎn)生溢出的量就是計數(shù)器的模，顯然，8位二進制數(shù)，它的模數(shù)為28=256。在計算中，兩個互補的數(shù)稱為“補碼”。

2）補碼的表示： 正數(shù)：正數(shù)的補碼和原碼相同。

     負數(shù)：負數(shù)的補碼則是符號位為“1”，數(shù)值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反碼+1”。

例如：   符號位 數(shù)值位

[+7]補=    0    0000111   B

       [-7]補=    1    1111001   B

補碼在微型機中是一種重要的編碼形式，請注意：

a.采用補碼后，可以方便地將減法運算轉(zhuǎn)化成加法運算，運算過程得到簡化。正數(shù)的補碼即是它所表示的數(shù)的真值，而負數(shù)的補碼的數(shù)值部份卻不是它所表示的數(shù)的真值。采用補碼進行運算，所得結(jié)果仍為補碼。

b.與原碼、反碼不同，數(shù)值0的補碼只有一個，即        [0]補=00000000B。

c.若字長為8位，則補碼所表示的范圍為-128～+127；進行補碼運算時，應注意所得結(jié)果不應超過補碼所能表示數(shù)的范圍。

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補碼 反碼 二進制

理解有符號數(shù)和無符號數(shù)

回頭看上一節(jié)，我們所講的數(shù)都是正數(shù)。同樣是年紀和工資，前者不需要有負值，但后者可能需要——至少所有的老板都這樣認為。

那么，負數(shù)在計算機中如何表示呢？

這一點，你可能聽過兩種不同的回答。

一種是教科書，它會告訴你：計算機用“補碼”表示負數(shù)�？墒怯嘘P(guān)“補碼”的概念一說就得一節(jié)課，這一些我們需要在第6章中用一章的篇幅講2進制的一切。再者，用“補碼”表示負數(shù)，其實一種公式，公式的作用在于告訴你，想得問題的答案，應該如何計算。卻并沒有告訴你為什么用這個公式就可以和答案？

另一種是一些程序員告訴你的：用二進制數(shù)的最高位表示符號，最高位是0，表示正數(shù)，最高位是1，表示負數(shù)。這種說法本身沒錯，可是如果沒有下文，那么它就是錯的。至少它不能解釋，為什么字符類型的-1用二進制表示是“1111 1111”(16進制為FF)；而不是我們更能理解的“1000 0001”。（為什么說后者更好理解呢？因為既然說最高位是1時表示負數(shù)，那1000 0001不是正好是-1嗎？）。

讓我們從頭說起。

1、你自已決定是否需要有正負。

就像我們必須決定某個量使用整數(shù)還是實數(shù)，使用多大的范圍數(shù)一樣，我們必須自已決定某個量是否需要正負。如果這個量不會有負值，那么我們可以定它為帶正負的類型。

在計算機中，可以區(qū)分正負的類型，稱為有符類型，無正負的類型（只有正值），稱為無符類型。

數(shù)值類型分為整型或?qū)嵭�，其中整型又分為無符類型或有符類型，而實型則只有符類型。

字符類型也分為有符和無符類型。

比如有兩個量，年齡和庫存，我們可以定前者為無符的字符類型，后者定為有符的整數(shù)類型。

2、使用二制數(shù)中的最高位表示正負。

首先得知道最高位是哪一位？1個字節(jié)的類型，如字符類型，最高位是第7位，2個字節(jié)的數(shù)，最高位是第15位，4個字節(jié)的數(shù)，最高位是第31位。不同長度的數(shù)值類型，其最高位也就不同，但總是最左邊的那位（如下示意）。字符類型固定是1個字節(jié)，所以最高位總是第7位。

(紅色為最高位)

單字節(jié)數(shù)： 1111 1111

雙字節(jié)數(shù)： 1111 1111 1111 1111

四字節(jié)數(shù)： 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

　

當我們指定一個數(shù)量是無符號類型時，那么其最高位的1或0，和其它位一樣，用來表示該數(shù)的大小。

當我們指定一個數(shù)量是無符號類型時，此時，最高數(shù)稱為“符號位”。為1時，表示該數(shù)為負值，為0時表示為正值。

3、無符號數(shù)和有符號數(shù)的范圍區(qū)別。

無符號數(shù)中，所有的位都用于直接表示該值的大小。有符號數(shù)中最高位用于表示正負，所以，當為正值時，該數(shù)的最大值就會變小。我們舉一個字節(jié)的數(shù)值對比：

無符號數(shù)： 1111 1111    值：255 1* 2⁷ + 1* 2⁶ + 1* 2⁵ + 1* 2⁴ + 1* 2³ + 1* 2² + 1* 2¹ + 1* 2⁰

有符號數(shù)： 0111 1111    值：127          1* 2⁶ + 1* 2⁵ + 1* 2⁴ + 1* 2³ + 1* 2² + 1* 2¹ + 1* 2⁰

　

同樣是一個字節(jié)，無符號數(shù)的最大值是255，而有符號數(shù)的最大值是127。原因是有符號數(shù)中的最高位被挪去表示符號了。并且，我們知道，最高位的權(quán)值也是最高的（對于1字節(jié)數(shù)來說是2的7次方=128），所以僅僅少于一位，最大值一下子減半。

不過，有符號數(shù)的長處是它可以表示負數(shù)。因此，雖然它的在最大值縮水了，卻在負值的方向出現(xiàn)了伸展。我們?nèi)砸粋�字節(jié)的數(shù)值對比：

無符號數(shù)：                        0 ----------------- 255

有符號數(shù)：         -128 --------- 0 ---------- 127

　

同樣是一個字節(jié)，無符號的最小值是 0 ，而有符號數(shù)的最小值是-128。所以二者能表達的不同的數(shù)值的個數(shù)都一樣是256個。只不過前者表達的是0到255這256個數(shù)，后者表達的是-128到+127這256個數(shù)。

一個有符號的數(shù)據(jù)類型的最小值是如何計算出來的呢？

有符號的數(shù)據(jù)類型的最大值的計算方法完全和無符號一樣，只不過它少了一個最高位（見第3點）。但在負值范圍內(nèi)，數(shù)值的計算方法不能直接使用1* 2⁶ + 1* 2⁵ 的公式進行轉(zhuǎn)換。在計算機中，負數(shù)除為最高位為1以外，還采用補碼形式進行表達。所以在計算其值前，需要對補碼進行還原。這些內(nèi)容我們將在第六章中的二進制知識中統(tǒng)一學習。

這里，先直觀地看一眼補碼的形式：

以我們原有的數(shù)學經(jīng)驗，在10進制中：1 表示正1，而加上負號：-1 表示和1相對的負值。

那么，我們會很容易認為在2進制中（1個字節(jié)）： 0000 0001 表示正1，則高位為1后：1000 0001應該表示-1。

然而，事實上計算機中的規(guī)定有些相反，請看下表：

二進制值（1字節(jié)）	十進制值
1000 0000	-128
1000 0001	-127
1000 0010	-126
1000 0011	-125
...	...
1111 1110	-2
1111 1111	-1

　

首先我們看到，從-1到-128，其二進制的最高位都是1（表中標為紅色），正如我們前面的學。

然后我們有些奇怪地發(fā)現(xiàn)，1000 0000 并沒有拿來表示 -0；而1000 0001也不是拿來直觀地表示-1。事實上，-1 用1111 1111來表示。

怎么理解這個問題呢？先得問一句是-1大還是-128大？

當然是 -1 大。-1是最大的負整數(shù)。以此對應，計算機中無論是字符類型，或者是整數(shù)類型，也無論這個整數(shù)是幾個字節(jié)。它都用全1來表示 -1。比如一個字節(jié)的數(shù)值中：1111 1111表示-1，那么，1111 1111 - 1 是什么呢？和現(xiàn)實中的計算結(jié)果完全一致。1111 1111 - 1 = 1111 1110，而1111 1110就是-2。這樣一直減下去，當減到只剩最高位用于表示符號的1以外，其它低位全為0時，就是最小的負值了，在一字節(jié)中，最小的負值是1000 0000，也就是-128。

我們以-1為例，來看看不同字節(jié)數(shù)的整數(shù)中，如何表達-1這個數(shù)：

字節(jié)數(shù)	二進制值	十進制值
單字節(jié)數(shù)	1111 1111	-1
雙字節(jié)數(shù)	1111 1111 1111 1111	-1
四字節(jié)數(shù)	1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111	-1

　

可能有同學這時會混了：為什么 1111 1111 有時表示255，有時又表示-1？所以我再強調(diào)一下本節(jié)前面所說的第2點：你自已決定一個數(shù)是有符號還是無符號的。寫程序時，指定一個量是有符號的，那么當這個量的二進制各位上都是1時，它表示的數(shù)就是-1；相反，如果事選聲明這個量是無符號的，此時它表示的就是該量允許的最大值，對于一個字節(jié)的數(shù)來說，最大值就是255。

 

原碼、反碼、補碼

我們已經(jīng)知道計算機中，所有數(shù)據(jù)最終都是使用二進制數(shù)表達。

我們也已經(jīng)學會如何將一個10進制數(shù)如何轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)。

不過，我們?nèi)匀粵]有學習一個負數(shù)如何用二進制表達。

　

比如，假設有一 int 類型的數(shù)，值為5，那么，我們知道它在計算機中表示為：

00000000 00000000 00000000 00000101

5轉(zhuǎn)換成二制是101，不過int類型的數(shù)占用4字節(jié)（32位），所以前面填了一堆0。

現(xiàn)在想知道，-5在計算機中如何表示？

在計算機中，負數(shù)以其正值的補碼形式表達。

什么叫補碼呢？這得從原碼，反碼說起。

　

原碼：一個整數(shù)，按照絕對值大小轉(zhuǎn)換成的二進制數(shù)，稱為原碼。

比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的 原碼。

　

反碼：將二進制數(shù)按位取反，所得的新二進制數(shù)稱為原二進制數(shù)的反碼。

取反操作指：原為1，得0；原為0，得1。（1變0; 0變1）

比如：將00000000 00000000 00000000 00000101每一位取反，得11111111 11111111 11111111 11111010。

稱：11111111 11111111 11111111 11111010 是 00000000 00000000 00000000 00000101 的反碼。

反碼是相互的，所以也可稱：

11111111 11111111 11111111 11111010 和 00000000 00000000 00000000 00000101 互為反碼。

　

補碼：反碼加1稱為補碼。

也就是說，要得到一個數(shù)的補碼，先得到反碼，然后將反碼加上1，所得數(shù)稱為補碼。

比如：00000000 00000000 00000000 00000101 的反碼是：11111111 11111111 11111111 11111010。

那么，補碼為：

11111111 11111111 11111111 11111010 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11111011

　

所以，-5 在計算機中表達為：11111111 11111111 11111111 11111011。轉(zhuǎn)換為十六進制：0xFFFFFFFB。

　

再舉一例，我們來看整數(shù)-1在計算機中如何表示。

假設這也是一個int類型，那么：

　

1、先取1的原碼：00000000 00000000 00000000 00000001

2、得反碼：      11111111 11111111 11111111 11111110

3、得補碼：      11111111 11111111 11111111 11111111

　

可見，－1在計算機里用二進制表達就是全1。16進制為：0xFFFFFF