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CCNA:什么叫原碼、補碼和反碼

日期:2009/8/26 11:53:59 來源:本站原創(chuàng) 訪問量:

數(shù)在計算機中是以二進制形式表示的。
數(shù)分為有符號數(shù)和無符號數(shù)。
原碼、反碼、補碼都是有符號定點數(shù)的表示方法。
一個有符號定點數(shù)的最高位為符號位,0是正,1是副。

以下都以8位整數(shù)為例,

原碼就是這個數(shù)本身的二進制形式。
例如
0000001 就是+1
1000001 就是-1

正數(shù)的反碼和補碼都是和原碼相同。

負數(shù)

在計算機中,負數(shù)以其正值的補碼形式表達。

什么叫補碼呢?這得從原碼,反碼說起。

 

原碼:一個整數(shù),按照絕對值大小轉(zhuǎn)換成的二進制數(shù),稱為原碼。

比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的 原碼。

 

反碼:將二進制數(shù)按位取反,所得的新二進制數(shù)稱為原二進制數(shù)的反碼。

取反操作指:原為1,得0;原為0,得1。(1變0; 0變1)

比如:將00000000 00000000 00000000 00000101每一位取反,得11111111 11111111 11111111 11111010。

稱:11111111 11111111 11111111 11111010 是 00000000 00000000 00000000 00000101 的反碼。

反碼是相互的,所以也可稱:

11111111 11111111 11111111 11111010 和 00000000 00000000 00000000 00000101 互為反碼的反碼是將其原碼除符號位之外的各位求反
[-3]反=[10000011]反=11111100
負數(shù)的補碼是將其原碼除符號位之外的各位求反之后在末位再加1。
[-3]補=[10000011]補=11111101
一個數(shù)和它的補碼是可逆的。

為什么要設立補碼呢?

第一是為了能讓計算機執(zhí)行減法:
[a-b]補=a補+(-b)補

第二個原因是為了統(tǒng)一正0和負0
正零:00000000
負零:10000000
這兩個數(shù)其實都是0,但他們的原碼卻有不同的表示。
但是他們的補碼是一樣的,都是00000000
特別注意,如果+1之后有進位的,要一直往前進位,包括符號位。ㄟ@和反碼是不同的。
[10000000]補
=[10000000]反+1
=11111111+1
=(1)00000000
=00000000(最高位溢出了,符號位變成了0)

有人會問
10000000這個補碼表示的哪個數(shù)的補碼呢?
其實這是一個規(guī)定,這個數(shù)表示的是-128
所以n位補碼能表示的范圍是
-2^(n-1)到2^(n-1)-1
比n位原碼能表示的數(shù)多一個

又例:
1011
原碼:01011
反碼:01011 //正數(shù)時,反碼=原碼
補碼:01011 //正數(shù)時,補碼=原碼

-1011
原碼:11011
反碼:10100 //負數(shù)時,反碼為原碼取反
補碼:10101 //負數(shù)時,補碼為原碼取反+1

0.1101
原碼:0.1101
反碼:0.1101 //正數(shù)時,反碼=原碼
補碼:0.1101 //正數(shù)時,補碼=原碼

-0.1101
原碼:1.1101
反碼:1.0010 //負數(shù)時,反碼為原碼取反
補碼:1.0011 //負數(shù)時,補碼為原碼取反+1

總結(jié):
在計算機內(nèi),定點數(shù)有3種表示法:原碼、反碼和補碼

所謂原碼就是前面所介紹的二進制定點表示法,即最高位為符號位,“0”表示正,“1”表示負,其余位表示數(shù)值的大小。

反碼表示法規(guī)定:正數(shù)的反碼與其原碼相同;負數(shù)的反碼是對其原碼逐位取反,但符號位除外。

補碼表示法規(guī)定:正數(shù)的補碼與其原碼相同;負數(shù)的補碼是在其反碼的末位加1。

1、原碼、反碼和補碼的表示方法

(1)     原碼:在數(shù)值前直接加一符號位的表示法。

例如:       符號位   數(shù)值位

[+7]原=    0     0000111   B

[-7]原=    1     0000111   B

      注意:a. 數(shù)0的原碼有兩種形式:

                    [+0]原=00000000B     [-0]原=10000000B

                b. 8位二進制原碼的表示范圍:-127~+127

2)反碼:

      正數(shù):正數(shù)的反碼與原碼相同。

      負數(shù):負數(shù)的反碼,符號位為“1”,數(shù)值部分按位取反。

例如: 符號位    數(shù)值位

      [+7]反=   0    0000111   B

      [-7]反=   1    1111000   B

注意:a. 數(shù)0的反碼也有兩種形式,即

               [+0]反=00000000B

               [- 0]反=11111111B

           b. 8位二進制反碼的表示范圍:-127~+127

3)補碼的表示方法

1)模的概念:把一個計量單位稱之為;蚰(shù)。例如,時鐘是以12進制進行計數(shù)循環(huán)的,即以12為模。在時鐘上,時針加上(正撥)12的整數(shù)位或減去(反撥)12的整數(shù)位,時針的位置不變。14點鐘在舍去模12后,成為(下午)2點鐘(14=14-12=2)。從0點出發(fā)逆時針撥10格即減去10小時,也可看成從0點出發(fā)順時針撥2格(加上2小時),即2點(0-10=-10=-10+12=2)。因此,在模12的前提下,-10可映射為+2。由此可見,對于一個模數(shù)為12的循環(huán)系統(tǒng)來說,加2和減10的效果是一樣的;因此,在以12為模的系統(tǒng)中,凡是減10的運算都可以用加2來代替,這就把減法問題轉(zhuǎn)化成加法問題了(注:計算機的硬件結(jié)構(gòu)中只有加法器,所以大部分的運算都必須最終轉(zhuǎn)換為加法)。10和2對模12而言互為補數(shù)。

同理,計算機的運算部件與寄存器都有一定字長的限制(假設字長為8),因此它的運算也是一種模運算。當計數(shù)器計滿8位也就是256個數(shù)后會產(chǎn)生溢出,又從頭開始計數(shù)。產(chǎn)生溢出的量就是計數(shù)器的模,顯然,8位二進制數(shù),它的模數(shù)為28=256。在計算中,兩個互補的數(shù)稱為“補碼”。

2)補碼的表示: 正數(shù):正數(shù)的補碼和原碼相同。

     負數(shù):負數(shù)的補碼則是符號位為“1”,數(shù)值部分按位取反后再在末位(最低位)加1。也就是“反碼+1”。

例如:   符號位 數(shù)值位

[+7]補=    0    0000111   B

       [-7]補=    1    1111001   B

補碼在微型機中是一種重要的編碼形式,請注意:

a.采用補碼后,可以方便地將減法運算轉(zhuǎn)化成加法運算,運算過程得到簡化。正數(shù)的補碼即是它所表示的數(shù)的真值,而負數(shù)的補碼的數(shù)值部份卻不是它所表示的數(shù)的真值。采用補碼進行運算,所得結(jié)果仍為補碼。

b.與原碼、反碼不同,數(shù)值0的補碼只有一個,即        [0]補=00000000B。

c.若字長為8位,則補碼所表示的范圍為-128~+127;進行補碼運算時,應注意所得結(jié)果不應超過補碼所能表示數(shù)的范圍。

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補碼 反碼 二進制

理解有符號數(shù)和無符號數(shù)

回頭看上一節(jié),我們所講的數(shù)都是正數(shù)。同樣是年紀和工資,前者不需要有負值,但后者可能需要——至少所有的老板都這樣認為。

那么,負數(shù)在計算機中如何表示呢?

這一點,你可能聽過兩種不同的回答。

一種是教科書,它會告訴你:計算機用“補碼”表示負數(shù)?墒怯嘘P(guān)“補碼”的概念一說就得一節(jié)課,這一些我們需要在第6章中用一章的篇幅講2進制的一切。再者,用“補碼”表示負數(shù),其實一種公式,公式的作用在于告訴你,想得問題的答案,應該如何計算。卻并沒有告訴你為什么用這個公式就可以和答案?

另一種是一些程序員告訴你的:用二進制數(shù)的最高位表示符號,最高位是0,表示正數(shù),最高位是1,表示負數(shù)。這種說法本身沒錯,可是如果沒有下文,那么它就是錯的。至少它不能解釋,為什么字符類型的-1用二進制表示是“1111 1111”(16進制為FF);而不是我們更能理解的“1000 0001”。(為什么說后者更好理解呢?因為既然說最高位是1時表示負數(shù),那1000 0001不是正好是-1嗎?)。

讓我們從頭說起。

1、你自已決定是否需要有正負。

就像我們必須決定某個量使用整數(shù)還是實數(shù),使用多大的范圍數(shù)一樣,我們必須自已決定某個量是否需要正負。如果這個量不會有負值,那么我們可以定它為帶正負的類型。

在計算機中,可以區(qū)分正負的類型,稱為有符類型,無正負的類型(只有正值),稱為無符類型。

數(shù)值類型分為整型或?qū)嵭,其中整型又分為無符類型或有符類型,而實型則只有符類型。

字符類型也分為有符和無符類型。

比如有兩個量,年齡和庫存,我們可以定前者為無符的字符類型,后者定為有符的整數(shù)類型。

2、使用二制數(shù)中的最高位表示正負。

首先得知道最高位是哪一位?1個字節(jié)的類型,如字符類型,最高位是第7位,2個字節(jié)的數(shù),最高位是第15位,4個字節(jié)的數(shù),最高位是第31位。不同長度的數(shù)值類型,其最高位也就不同,但總是最左邊的那位(如下示意)。字符類型固定是1個字節(jié),所以最高位總是第7位。

(紅色為最高位)

單字節(jié)數(shù): 1111 1111

雙字節(jié)數(shù): 1111 1111 1111 1111

四字節(jié)數(shù): 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

 

當我們指定一個數(shù)量是無符號類型時,那么其最高位的1或0,和其它位一樣,用來表示該數(shù)的大小。

當我們指定一個數(shù)量是無符號類型時,此時,最高數(shù)稱為“符號位”。為1時,表示該數(shù)為負值,為0時表示為正值。

3、無符號數(shù)和有符號數(shù)的范圍區(qū)別。

無符號數(shù)中,所有的位都用于直接表示該值的大小。有符號數(shù)中最高位用于表示正負,所以,當為正值時,該數(shù)的最大值就會變小。我們舉一個字節(jié)的數(shù)值對比:

無符號數(shù): 1111 1111    值:255 1* 27 + 1* 26 + 1* 25 + 1* 24 + 1* 23 + 1* 22 + 1* 21 + 1* 20

有符號數(shù): 0111 1111    值:127          1* 26 + 1* 25 + 1* 24 + 1* 23 + 1* 22 + 1* 21 + 1* 20

 

同樣是一個字節(jié),無符號數(shù)的最大值是255,而有符號數(shù)的最大值是127。原因是有符號數(shù)中的最高位被挪去表示符號了。并且,我們知道,最高位的權(quán)值也是最高的(對于1字節(jié)數(shù)來說是2的7次方=128),所以僅僅少于一位,最大值一下子減半。

不過,有符號數(shù)的長處是它可以表示負數(shù)。因此,雖然它的在最大值縮水了,卻在負值的方向出現(xiàn)了伸展。我們?nèi)砸粋字節(jié)的數(shù)值對比:

無符號數(shù):                        0 ----------------- 255

有符號數(shù):         -128 --------- 0 ---------- 127

 

同樣是一個字節(jié),無符號的最小值是 0 ,而有符號數(shù)的最小值是-128。所以二者能表達的不同的數(shù)值的個數(shù)都一樣是256個。只不過前者表達的是0到255這256個數(shù),后者表達的是-128到+127這256個數(shù)。

一個有符號的數(shù)據(jù)類型的最小值是如何計算出來的呢?

有符號的數(shù)據(jù)類型的最大值的計算方法完全和無符號一樣,只不過它少了一個最高位(見第3點)。但在負值范圍內(nèi),數(shù)值的計算方法不能直接使用1* 26 + 1* 25 的公式進行轉(zhuǎn)換。在計算機中,負數(shù)除為最高位為1以外,還采用補碼形式進行表達。所以在計算其值前,需要對補碼進行還原。這些內(nèi)容我們將在第六章中的二進制知識中統(tǒng)一學習。

這里,先直觀地看一眼補碼的形式:

以我們原有的數(shù)學經(jīng)驗,在10進制中:1 表示正1,而加上負號:-1 表示和1相對的負值。

那么,我們會很容易認為在2進制中(1個字節(jié)): 0000 0001 表示正1,則高位為1后:1000 0001應該表示-1。

然而,事實上計算機中的規(guī)定有些相反,請看下表:

二進制值(1字節(jié))

十進制值

1000 0000

-128

1000 0001

-127

1000 0010

-126

1000 0011

-125

...

...

1111 1110

-2

1111 1111

-1

 

首先我們看到,從-1到-128,其二進制的最高位都是1(表中標為紅色),正如我們前面的學。

然后我們有些奇怪地發(fā)現(xiàn),1000 0000 并沒有拿來表示 -0;而1000 0001也不是拿來直觀地表示-1。事實上,-1 用1111 1111來表示。

怎么理解這個問題呢?先得問一句是-1大還是-128大?

當然是 -1 大。-1是最大的負整數(shù)。以此對應,計算機中無論是字符類型,或者是整數(shù)類型,也無論這個整數(shù)是幾個字節(jié)。它都用全1來表示 -1。比如一個字節(jié)的數(shù)值中:1111 1111表示-1,那么,1111 1111 - 1 是什么呢?和現(xiàn)實中的計算結(jié)果完全一致。1111 1111 - 1 = 1111 1110,而1111 1110就是-2。這樣一直減下去,當減到只剩最高位用于表示符號的1以外,其它低位全為0時,就是最小的負值了,在一字節(jié)中,最小的負值是1000 0000,也就是-128。

我們以-1為例,來看看不同字節(jié)數(shù)的整數(shù)中,如何表達-1這個數(shù):

字節(jié)數(shù)

二進制值

十進制值

單字節(jié)數(shù)

1111 1111

-1

雙字節(jié)數(shù)

1111 1111 1111 1111

-1

四字節(jié)數(shù)

1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

-1

 

可能有同學這時會混了:為什么 1111 1111 有時表示255,有時又表示-1?所以我再強調(diào)一下本節(jié)前面所說的第2點:你自已決定一個數(shù)是有符號還是無符號的。寫程序時,指定一個量是有符號的,那么當這個量的二進制各位上都是1時,它表示的數(shù)就是-1;相反,如果事選聲明這個量是無符號的,此時它表示的就是該量允許的最大值,對于一個字節(jié)的數(shù)來說,最大值就是255。

 

原碼、反碼、補碼

我們已經(jīng)知道計算機中,所有數(shù)據(jù)最終都是使用二進制數(shù)表達。

我們也已經(jīng)學會如何將一個10進制數(shù)如何轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)。

不過,我們?nèi)匀粵]有學習一個負數(shù)如何用二進制表達。

 

比如,假設有一 int 類型的數(shù),值為5,那么,我們知道它在計算機中表示為:

00000000 00000000 00000000 00000101

5轉(zhuǎn)換成二制是101,不過int類型的數(shù)占用4字節(jié)(32位),所以前面填了一堆0。

現(xiàn)在想知道,-5在計算機中如何表示?

在計算機中,負數(shù)以其正值的補碼形式表達。

什么叫補碼呢?這得從原碼,反碼說起。

 

原碼:一個整數(shù),按照絕對值大小轉(zhuǎn)換成的二進制數(shù),稱為原碼。

比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的 原碼。

 

反碼:將二進制數(shù)按位取反,所得的新二進制數(shù)稱為原二進制數(shù)的反碼。

取反操作指:原為1,得0;原為0,得1。(1變0; 0變1)

比如:將00000000 00000000 00000000 00000101每一位取反,得11111111 11111111 11111111 11111010。

稱:11111111 11111111 11111111 11111010 是 00000000 00000000 00000000 00000101 的反碼。

反碼是相互的,所以也可稱:

11111111 11111111 11111111 11111010 和 00000000 00000000 00000000 00000101 互為反碼。

 

補碼:反碼加1稱為補碼。

也就是說,要得到一個數(shù)的補碼,先得到反碼,然后將反碼加上1,所得數(shù)稱為補碼。

比如:00000000 00000000 00000000 00000101 的反碼是:11111111 11111111 11111111 11111010。

那么,補碼為:

11111111 11111111 11111111 11111010 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11111011

 

所以,-5 在計算機中表達為:11111111 11111111 11111111 11111011。轉(zhuǎn)換為十六進制:0xFFFFFFFB。

 

再舉一例,我們來看整數(shù)-1在計算機中如何表示。

假設這也是一個int類型,那么:

 

1、先取1的原碼:00000000 00000000 00000000 00000001

2、得反碼:      11111111 11111111 11111111 11111110

3、得補碼:      11111111 11111111 11111111 11111111

 

可見,-1在計算機里用二進制表達就是全1。16進制為:0xFFFFFF

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