一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

1．線性方程組 的解為（　A　�。�

A．                                     B．

C．                                     D．

．

2．設(shè)矩陣 ，則矩陣 的伴隨矩陣 （　D　　）

A．                   B．              C．                   D．

3．設(shè) 為 矩陣，若秩（ ）=4，則秩（ ）為（　C　�。�

A．2                            B．3                            C．4                            D．5

4．設(shè) 分別為 和 矩陣，向量組（I）是由 的列向量構(gòu)成的向量組，向量組（Ⅱ）是由 的列向量構(gòu)成的向量組，則必有（　C　�。�

A．若（I）線性無關(guān)，則（Ⅱ）線性無關(guān)              B．若（I）線性無關(guān)，則（Ⅱ）線性相關(guān)

C．若（Ⅱ）線性無關(guān)，則（I）線性無關(guān)              D．若（Ⅱ）線性無關(guān)，則（I）線性相關(guān)

（I）是（Ⅱ）的部分組，整體無關(guān) 部分無關(guān)．

5．設(shè) 為5階方陣，若秩（ ）=3，則齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系中包含的解向量的個數(shù)是（　A　�。�

A．2                            B．3                            C．4                            D．5

未知量個數(shù) ， 的秩 ，基礎(chǔ)解系包含 個解向量．

6．設(shè) 矩陣 的秩為 ，且 是齊次線性方程組 的兩個不同的解，則 的通解為（　　　）

A． ，            B． ，            C． ，     D． ，

的基礎(chǔ)解系包含1個解向量． 是不同的解， 是非零解，可以作為基礎(chǔ)解系，通解為 ， ．

7．對非齊次線性方程組 ，設(shè)秩（ ）=r，則（　　　）

A．r=m時，方程組 有解                      B．r=n時，方程組 有唯一解

C．m=n時，方程組 有唯一解                     D．r<n時，方程組 有無窮多解

r=m時， ， 有解       ．

8．設(shè)矩陣 ，則 的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)是（　C　�。�

A．1                            B．2                            C．3                            D．4

特征值為 ， ， ． 對于 ， ，基礎(chǔ)解系含1個解向量； 對于 ， ，基礎(chǔ)解系含1個解向量； 對于 ， ，基礎(chǔ)解系含1個解向量．

9．設(shè)向量 ，則下列向量是單位向量的是（　B　�。�

A．                        B．                        C．                        D．

， ．

10．二次型 的規(guī)范形是（　D　　）

A．                  B．               C．               D．

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

11．3階行列式 __1__．

．

12．設(shè) ， ，則 ．

13．設(shè) 為3階方陣，若 ，則 __-54__．

．

14．已知向量 ， ，如果 ，則 ．

．

15．設(shè) 為3階非奇異矩陣，則齊次線性方程組 的解為 ．

， 只有零解．

16．設(shè)非齊次線性方程組 的增廣矩陣為 ，則該方程組的通解為 ．

， ，通解為 ．

17．已知3階方陣 的特征值為 ，則 __-1__．

．

18．已知向量 與向量 正交，則 __2__．

， ， ．

19．二次型 的正慣性指數(shù)為__3__．

20．若 為正定二次型，則 的取值應(yīng)滿足 ．

， ； ， ， ， ， ．

三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

21．計算行列式 ．

解： ．

22．設(shè) ， ，又 ，求矩陣 ．

解：

， ，

．

23．設(shè)矩陣 ， ，求矩陣 的秩．

解： ， 可逆，而 的秩為3，所以 的秩為3．

24．求向量組 ， ， 的秩．

解： ， 的秩為2．

25．求齊次線性方程組 的一個基礎(chǔ)解系．

解： ，

，基礎(chǔ)解系為 ， ．

26．設(shè)矩陣 ，求可逆矩陣 ，使 為對角矩陣．

解：A的特征多項式為

，

特征值為 ， ．

對于 ，解齊次方程組 ：

， ，取 ， ．

對于 ，解齊次方程組 ：

， ，取 ．

令 ，則 是可逆矩陣，使 ．

四、證明題（本大題共1小題，6分）

27．設(shè)向量組 線性無關(guān)， ， ， ，證明：向量組 線性無關(guān)．

證：設(shè) ，即

，

，

因為 線性無關(guān)，必有 ，

，

方程組只有零解： ，所以 線性無關(guān)．