江蘇專(zhuān)轉(zhuǎn)本微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用練習(xí)題答案

一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共24分）

1、已知 ，則 有    （B）

A　一個(gè)實(shí)根    　　B　兩個(gè)實(shí)根   

C 　三個(gè)實(shí)根    　　D　無(wú)實(shí)根   

解：（1）

在 滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件

故有 （ ）

綜上所述， 少有兩個(gè)實(shí)根 ，至多有兩個(gè)根，故選Ｂ

 2．下列函數(shù)在所給區(qū)間滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件的是                �。�D）

A　

B　

C　

D　

解：

，

滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件．故選  D

3．設(shè)曲線(xiàn) ，則其拐點(diǎn)坐標(biāo)為（C）

A　0 　　　　　　　B（0，1）　

C（0，0）　　　　　D　1

解： ．令 ．得 ．

．當(dāng) 時(shí)， ．

故（0，0）為曲線(xiàn)的拐點(diǎn) 　C

4．若 內(nèi)

必有（C）　　　　　　　　　　

A　

B　

C　

D　

解：

凹弧

如示意圖，故有

5．設(shè)

在 取得極值。則 為．．．（Ｂ）

A　     B　

C　    D　

解：⑴

①

⑵ ②

①—②  得 ①

得

答案選Ｂ

6．下列命題中正確的是----------（B）

A 為極值點(diǎn)，則必有

B 若 在點(diǎn)  處可導(dǎo)，且  為   的極值點(diǎn)，則必有

C 若 在（ ）有極大值也有極小值則極大值必大于極小值。

D 若 則點(diǎn) 必有 的極值點(diǎn)。

解：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，故有 =0  選B

二、填空題（每小題4分，共24分）

7．設(shè) 可導(dǎo)，且 的極小值。則

解：原式=

8． 的單調(diào)增加區(qū)間為

解：（1）定義域 （2）

當(dāng)0<x<e 時(shí)。  故 的單調(diào)增區(qū)間為（0，e）

9． 的極小值是

解：（1）

（2）令 ，駐點(diǎn) ． 是 不可導(dǎo)點(diǎn)

（3）極小值

10． 的最大值為 1 

解：（1） 是 的不可導(dǎo)點(diǎn)。

（2）

（3）最大值為

11．曲線(xiàn) 的水平漸進(jìn)線(xiàn)為＿＿

解：

∴直線(xiàn) 是曲線(xiàn)的一條水平漸進(jìn)線(xiàn)

12．函數(shù) 在[1，2]滿(mǎn)足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的

解：（1） — =

（2）

三、計(jì)算題（每小題8分，共64分）

 13.已知 在區(qū)間 滿(mǎn)足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，求

解：

，

14．求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間

與極值。

解：（１）

駐點(diǎn)， 的不可導(dǎo)點(diǎn)

（2）

（3）極大值 ，極小值 ， 在 單調(diào)減

在 單調(diào)增

15 求由方程 所確定

的極值。

解：（1）求駐點(diǎn)：

令 →駐點(diǎn)

（2）判別極值點(diǎn)

當(dāng) 時(shí)  代入上式

2+0+0+0+

= 為極大值點(diǎn)，

（3）極大值

16．求 在區(qū)間[ ，4]

上的最大值，最小值。

解：（ 1）

令 ，   為不可導(dǎo)點(diǎn)  

（2）∵

（3）比較上述函數(shù)的大小

最小值為   ，最大值為 0 

17．求曲線(xiàn) 的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。

解：（1）定義域（--∞，+∞）

（2）      

令

得 ； 不存在的點(diǎn)為

（3）列表

答：拐點(diǎn)（0， ）及（1， ）； _，

為凹區(qū)間，（0，1）為凸區(qū)間。

18．求曲線(xiàn) 的水平漸近線(xiàn)與垂直漸近線(xiàn)。

解：（1） 是曲線(xiàn)的一條水平漸近線(xiàn)。

（2）

是曲線(xiàn)的另一條水平漸近線(xiàn)

（3）∵

為曲線(xiàn)的一條垂直漸近線(xiàn)

19．判別函數(shù) 在 的單調(diào)性。

解：（1）

（２）令

且

（3）

在 單調(diào)減。

20．設(shè) 確定 單調(diào)的區(qū)間。

解：（1）

故有 為駐點(diǎn)

（2）當(dāng) 時(shí)，

時(shí)，

（3）除 外， ． 在 單調(diào)增加。

四、綜合題（每小題10分，共２０分）

21 已知函數(shù)的圖形上有一拐點(diǎn)（2，4），在拐點(diǎn)處曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率為 ，而且該函數(shù)滿(mǎn)足 ，求此函數(shù)

解（1）已知；

（2）求常數(shù)

，

（3）求 ：

，

由

（4）求函數(shù)y:

答：所求函數(shù)y=

22 利用導(dǎo)數(shù)描繪 的圖形

解：（1）定義域 ，非奇非偶函數(shù)

（2）求駐點(diǎn)和 的點(diǎn)

，令 ，駐點(diǎn)

，令 ，得

（3）列表

極大值 ，拐點(diǎn)

（4）漸近線(xiàn)與函數(shù)變化趨勢(shì)

是曲線(xiàn)的一條水平漸進(jìn)線(xiàn)，

（5）描點(diǎn)作圖

當(dāng) 時(shí)

五、證明題（每小題9分，共18分）

23 設(shè)

存在且 單調(diào)增加，證明當(dāng) 時(shí) 單調(diào)增加

證明：1）令

當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)增加

故有 單調(diào)增加

24 設(shè) 證明 ，

證明：1）構(gòu)造輔助函數(shù)：

（2） 且

由羅爾定理知

＊     選做題

證明方程： 恰有一實(shí)根，其中 常數(shù)，且

證明：（1）令

且

(4)綜上所述： 有且僅有一個(gè)實(shí)根