首先是知識(shí)框架：

 

線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架（一）

 

線性代數(shù)的學(xué)習(xí)切入點(diǎn)：線性方程組。換言之，可以把線性代數(shù)看作是在研究線性方程組這一對(duì)象的過程中建立起來的學(xué)科。

 

線性方程組的特點(diǎn)：方程是未知數(shù)的一次齊次式，方程組的數(shù)目s和未知數(shù)的個(gè)數(shù)n可以相同，也可以不同。

 

關(guān)于線性方程組的解，有三個(gè)問題值得討論：（1）、方程組是否有解，即解的存在性問題；（2）、方程組如何求解，有多少個(gè)解；（3）、方程組有不止一個(gè)解時(shí)，這些不同的解之間有無內(nèi)在聯(lián)系，即解的結(jié)構(gòu)問題。

 

高斯消元法，最基礎(chǔ)和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對(duì)方程的同解變換：（1）、把某個(gè)方程的k倍加到另外一個(gè)方程上去；（2）、交換某兩個(gè)方程的位置；（3）、用某個(gè)常數(shù)k乘以某個(gè)方程。我們把這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換。

 

任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組。

 

由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個(gè)未知數(shù)的值，從而求得方程組的解。

 

對(duì)方程組的解起決定性作用的是未知數(shù)的系數(shù)及其相對(duì)位置，所以可以把方程組的所有系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)按原來的位置提取出來，形成一張表，通過研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個(gè)數(shù)按某種方式構(gòu)成的表稱為矩陣。

 

可以用矩陣的形式來表示一個(gè)線性方程組，這至少在書寫和表達(dá)上都更加簡(jiǎn)潔。

 

系數(shù)矩陣和增廣矩陣。

 

高斯消元法中對(duì)線性方程組的初等變換，就對(duì)應(yīng)的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對(duì)應(yīng)的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對(duì)其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。

 

階梯形矩陣的特點(diǎn)：左下方的元素全為零，每一行的第一個(gè)不為零的元素稱為該行的主元。

 

對(duì)不同的線性方程組的具體求解結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)（有唯一解、無解、有無窮多解），再經(jīng)過嚴(yán)格證明，可得到關(guān)于線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現(xiàn)0=d這一項(xiàng)，則方程組無解，若未出現(xiàn)0=d一項(xiàng)，則方程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數(shù)目r等于未知量數(shù)目n，方程組有唯一解，若r<n，則方程組有無窮多解。

 

在利用初等變換得到階梯型后，還可進(jìn)一步得到最簡(jiǎn)形，使用最簡(jiǎn)形，最簡(jiǎn)形的特點(diǎn)是主元上方的元素也全為零，這對(duì)于求解未知量的值更加方便，但代價(jià)是之前需要經(jīng)過更多的初等變換。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡(jiǎn)形，取決于個(gè)人習(xí)慣。

 

常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。

 

齊次方程組的方程組個(gè)數(shù)若小于未知量個(gè)數(shù)，則方程組一定有非零解。

 

利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題（1）解的存在性問題和（2）如何求解的問題，這是以線性方程組為出發(fā)點(diǎn)建立起來的最基本理論。

 

對(duì)于n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的特殊情形，我們發(fā)現(xiàn)可以利用系數(shù)的某種組合來表示其解，這種按特定規(guī)則表示的系數(shù)組合稱為一個(gè)線性方程組（或矩陣）的行列式。行列式的特點(diǎn)：有n!項(xiàng)，每項(xiàng)的符號(hào)由角標(biāo)排列的逆序數(shù)決定，是一個(gè)數(shù)。

 

通過對(duì)行列式進(jìn)行研究，得到了行列式具有的一些性質(zhì)（如交換某兩行其值反號(hào)、有兩行對(duì)應(yīng)成比例其值為零、可按行展開等等），這些性質(zhì)都有助于我們更方便的計(jì)算行列式。

 

用系數(shù)行列式可以判斷n個(gè)方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。

 

總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等的特殊情形時(shí)引出的一部分內(nèi)容。

 

 

線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架（二）

 

在利用高斯消元法求解線性方程組的過程中，涉及到一種重要的運(yùn)算，即把某一行的倍數(shù)加到另一行上，也就是說，為了研究從線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)判斷它有沒有解，有多少解的問題，需要定義這樣的運(yùn)算，這提示我們可以把問題轉(zhuǎn)為直接研究這種對(duì)n元有序數(shù)組的數(shù)量乘法和加法運(yùn)算。

 

數(shù)域上的n元有序數(shù)組稱為n維向量。設(shè)向量a=(a1,a2,...,an)，稱ai是a的第i個(gè)分量。

 

n元有序數(shù)組寫成一行，稱為行向量，同時(shí)它也可以寫為一列，稱為列向量。要注意的是，行向量和列向量沒有本質(zhì)區(qū)別，只是元素的寫法不同。

 

矩陣與向量通過行向量組和列向量組相聯(lián)系。

 

對(duì)給定的向量組，可以定義它的一個(gè)線性組合。線性表出定義的是一個(gè)向量和另外一組向量之間的相互關(guān)系。

 

利用矩陣的列向量組，我們可以把一個(gè)線性方程組有沒有解的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)向量能否由另外一組向量線性表出的問題。同時(shí)要注意這個(gè)結(jié)論的雙向作用。

 

從簡(jiǎn)單例子（如幾何空間中的三個(gè)向量）可以看到，如果一個(gè)向量a1能由另外兩個(gè)向量a2、a3線性表出，則這三個(gè)向量共面，反之則不共面。為了研究向量個(gè)數(shù)更多時(shí)的類似情況，我們把上述兩種對(duì)向量組的描述進(jìn)行推廣，便可得到線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。

 

通過一些簡(jiǎn)單例子體會(huì)線性相關(guān)和線性無關(guān)（零向量一定線性無關(guān)、單個(gè)非零向量線性無關(guān)、單位向量組線性無關(guān)等等）。

 

從多個(gè)角度（線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程組角度）體會(huì)線性相關(guān)和線性無關(guān)的本質(zhì)。

 

部分組線性相關(guān)，整個(gè)向量組線性相關(guān)。向量組線性無關(guān)，延伸組線性無關(guān)。

 

回到線性方程組的解的問題，即一個(gè)向量b在什么情況下能由另一個(gè)向量組a1,a2,...,an線性表出？如果這個(gè)向量組本身是線性無關(guān)的，可通過分析立即得到答案：b, a1, a2, ..., an線性相關(guān)。如果這個(gè)向量組本身是線性相關(guān)的，則需進(jìn)一步探討。

 

任意一個(gè)向量組，都可以通過依次減少這個(gè)向量組中向量的個(gè)數(shù)找到它的一個(gè)部分組，這個(gè)部分組的特點(diǎn)是：本身線性無關(guān)，從向量組的其余向量中任取一個(gè)進(jìn)去，得到的新的向量組都線性相關(guān)，我們把這種部分組稱作一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組。

 

如果一個(gè)向量組A中的每個(gè)向量都能被另一個(gè)向量組B線性表出，則稱A能被B線性表出。如果A和B能互相線性表出，稱A和B等價(jià)。

 

一個(gè)向量組可能又不止一個(gè)極大線性無關(guān)組，但可以確定的是，向量組和它的極大線性無關(guān)組等價(jià)，同時(shí)由等價(jià)的傳遞性可知，任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組等價(jià)。

 

注意到一個(gè)重要事實(shí)：一個(gè)線性無關(guān)的向量組不能被個(gè)數(shù)比它更少的向量組線性表出。這是不難理解的，例如不共面的三個(gè)向量（對(duì)應(yīng)線性無關(guān)）的確不可能由平面內(nèi)的兩個(gè)向量組成的向量組線性表出。

 

一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相等，我們將這個(gè)數(shù)目r稱為向量組的秩。

 

向量線性無關(guān)的充分必要條件是它的秩等于它所含向量的數(shù)目。等價(jià)的向量組有相同的秩。

 

有了秩的概念以后，我們可以把線性相關(guān)的向量組用它的極大線性無關(guān)組來替換掉，從而得到線性方程組的有解的充分必要條件：若系數(shù)矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等，則有解，若不等，則無解。

 

向量組的秩是一個(gè)自然數(shù)，由這個(gè)自然數(shù)就可以判斷向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，由此可見，秩是一個(gè)非常深刻而重要的概念，故有必要進(jìn)一步研究向量組的秩的計(jì)算方法。

線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架（三）

 

為了求向量組的秩，我們來考慮矩陣。矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩，行向量組的秩稱為行秩。

 

對(duì)階梯形矩陣進(jìn)行考察，發(fā)現(xiàn)階梯形矩陣的行秩等于列秩，并且都等于階梯形的非零行的數(shù)目，并且主元所在的列構(gòu)成列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。

 

矩陣的初等行變換不會(huì)改變矩陣的行秩，也不會(huì)改變矩陣的列秩。

 

任取一個(gè)矩陣A，通過初等行變換將其化成階梯形J，則有：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩，即對(duì)任意一個(gè)矩陣來說，其行秩和列秩相等，我們統(tǒng)稱為矩陣的秩。

 

通過初等行變換化矩陣為階梯形，即是一種求矩陣列向量組的極大線性無關(guān)組的方法。

 

考慮到A的行秩和A的轉(zhuǎn)置的列秩的等同性，則初等列變換也不會(huì)改變矩陣的秩�？偠�言之，初等變換不會(huì)改變矩陣的秩。因此如果只需要求矩陣A的秩，而不需要求A的列向量組的極大無關(guān)組時(shí)，可以對(duì)A既作初等行變換，又作初等列變換，這會(huì)給計(jì)算帶來方便。

 

矩陣的秩，同時(shí)又可定義為不為零的子式的最高階數(shù)。

 

滿秩矩陣的行列式不等于零。非滿秩矩陣的行列式必為零。

 

既然矩陣的秩和矩陣的列秩相同，則可以把線性方程組有解的充分必要條件更加簡(jiǎn)單的表達(dá)如下：系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩。另外，有唯一解和有無窮多解的條件也可從秩的角度給出回答：系數(shù)矩陣的秩r等于未知量數(shù)目n，有唯一解，r<n，有無窮多解。

 

齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)問題，可以用基礎(chǔ)解系來表示。當(dāng)齊次線性方程組有非零解時(shí)，基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)等于n-r，用基礎(chǔ)解系表示的方程組的解的集合稱為通解。

 

通過對(duì)具體實(shí)例進(jìn)行分析，可以看到求基礎(chǔ)解系的方法還是在于用初等行變換化階梯形。

 

非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，是由對(duì)應(yīng)的齊次通解加上一個(gè)特解。

 

 

線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架（四）

 

在之前研究線性方程組的解的過程當(dāng)中，注意到矩陣及其秩有著重要的地位和應(yīng)用，故還有必要對(duì)矩陣及其運(yùn)算進(jìn)行專門探討。

 

矩陣的加法和數(shù)乘，與向量的運(yùn)算類同。

 

矩陣的另外一個(gè)重要應(yīng)用：線性變換（最典型例子是旋轉(zhuǎn)變換）。即可以把一個(gè)矩陣看作是一種線性變換在數(shù)學(xué)上的表述。

 

矩陣的乘法，反映的是線性變換的疊加。如矩陣A對(duì)應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a，矩陣B對(duì)應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度b，則矩陣AB對(duì)應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a+b。

 

矩陣乘法的特點(diǎn)：若C=AB，則C的第i行、第j列的元素是A的第i行與B的第j列的元素對(duì)應(yīng)乘積之和；A的列數(shù)要和B的行數(shù)相同；C的行數(shù)是A的行數(shù)，列數(shù)是B的列數(shù)。需要主義的是矩陣乘法不滿足交換律，滿足結(jié)合律。

 

利用矩陣乘積的寫法，線性方程組可更簡(jiǎn)單的表示為：Ax=b。

 

對(duì)于C=AB，還可作如下分析：將左邊的矩陣A寫成列向量組的形式，即意味著C的列向量組能由A的列向量組表示，從而推知C的列秩小于等于A的列秩；將右邊的矩陣B寫成行向量組的形式，即意味著C的行向量組能由B的行向量組表示，從而推知C的行秩小于等于B的行秩，再考慮到矩陣的行秩等于列秩等于矩陣的秩，最終可得到結(jié)論，C的秩小于等于A的秩，也小于等于B的秩，即矩陣乘積的秩總不超過任一個(gè)因子的秩。

 

關(guān)于矩陣乘積的另外一個(gè)重要結(jié)論：矩陣乘積的行列式等于各因子的行列式的乘積。

 

一些特殊的矩陣：?jiǎn)挝魂�、�?duì)角陣、初等矩陣。尤其要注意，初等矩陣是單位陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。

 

每一個(gè)初等矩陣對(duì)應(yīng)一個(gè)初等變換，因?yàn)樽蟪说男问綖?/SPAN>PA（P為初等矩陣），將A寫成行向量組的形式，PA意味著對(duì)A做了一次初等行變換；同理，AP意味著對(duì)A做了一次初等列變換，故左乘對(duì)應(yīng)行變換，右乘對(duì)應(yīng)列變換。

 

若AB=E，則稱A為可逆矩陣，B是A的逆陣，同樣，這時(shí)的B也是可逆矩陣，注意可逆矩陣一定是方陣。

 

第一種求逆陣的方法：伴隨陣。這種方法的理論依據(jù)是行列式的按行（列）展開。

 

矩陣可逆，行列式不為零，行（列）向量組線性無關(guān)，滿秩，要注意這些結(jié)論之間的充分必要性。

 

單位陣和初等矩陣都是可逆的。

 

若矩陣可逆，則一定可以通過初等變換化為單位陣，這是不難理解的，因?yàn)槌醯染仃嚌M秩，故最后化成的階梯型（最簡(jiǎn)形）中非零行數(shù)目等于行數(shù)，主元數(shù)目等于列數(shù)，這即是單位陣。進(jìn)一步，既然可逆矩陣可以通過初等變換化為單位陣，而初等變換對(duì)應(yīng)的是初等矩陣，即意味著：可逆矩陣可以通過左（右）乘一系列初等矩陣化為單位陣，換言之可逆矩陣可看作是一系列初等矩陣的乘積，因?yàn)閱挝魂囋诔朔e中可略去。

 

可逆矩陣作為因子不會(huì)改變被乘（無論左乘右乘）的矩陣的秩。

 

由于可逆矩陣可以看作是一系列初等矩陣的乘積，可以想象，同樣的這一系列初等矩陣作用在單位陣上，結(jié)果是將這個(gè)單位陣變?yōu)樵瓉砭仃嚨哪骊嚕�由此引出求逆陣的第二種方法：初等變換。需要注意的是這個(gè)過程中不能混用行列變換，且同樣是左乘對(duì)應(yīng)行變換，右乘對(duì)應(yīng)列變換。

 

矩陣分塊，即可把矩陣中的某些行和列的元素看作一個(gè)整體，對(duì)這些被看作是整體的對(duì)象構(gòu)成的新的矩陣，運(yùn)算法則仍然適用。將矩陣看成一些列行向量組或列向量組的形式，實(shí)際也就是一種最常見的對(duì)矩陣進(jìn)行分塊的方式。

 

 

接下來是習(xí)題解讀

 

同濟(jì)五版《線性代數(shù)》習(xí)題解讀（一）

 

1、利用對(duì)角線法則計(jì)算行列式，可以通過幾道小題熟悉一下把行列式化成上（下）三角的過程，基本題。

 

2、3題涉及排列以及行列式的展開準(zhǔn)則，不是太重要，了解即可。

 

4、5、6題是一些計(jì)算行列式的練習(xí)，不同特點(diǎn)的行列式通常有不同的方法，常見的就是化為上（下）三角，按行（列）展開，某一行（列）是和的形式可進(jìn)行拆分，基本題，要通過這些練習(xí)來熟練行列式的運(yùn)算這一塊。5題雖然是以方程形式給出，但考察點(diǎn)還是計(jì)算。

 

7、行列式性質(zhì)的應(yīng)用，比較重要的題型，重在對(duì)思維的訓(xùn)練，而且該題的結(jié)論很常用，最好掌握。

 

8、一些難度較高的行列式的計(jì)算題，涉及到不少技巧，而這些技巧通常初學(xué)者是想不到的，這時(shí)候可以看看答案，體會(huì)一下答案的做法，對(duì)這塊內(nèi)容的要求和不定積分是類似的。

 

9、設(shè)計(jì)巧妙的題目，隱含考點(diǎn)是行列式按行展開的性質(zhì)：若是相同行（列）的元素和代數(shù)余子式對(duì)應(yīng)相乘求和，結(jié)果是行列式的值；若是不同行（列）的元素和代數(shù)余子式對(duì)應(yīng)相乘求和，結(jié)果為0。注意此題要求的結(jié)果是第三行的代數(shù)余子式的某種組合，而根據(jù)代數(shù)余子式的定義可知，這與題給的行列式中的第三行的元素是無關(guān)的，那就可以根據(jù)需要把第三行的元素替換為前面要求的式子中的那些系數(shù)，這樣問題就簡(jiǎn)化為求一個(gè)新的行列式，而無需煩瑣的進(jìn)行四次求代數(shù)余子式的運(yùn)算。此題技巧性較強(qiáng)，但這個(gè)構(gòu)思方法值得掌握。

 

10、克蘭姆法則的應(yīng)用，歸根結(jié)底還是計(jì)算行列式。

 

11、12題是通過行列式來判斷齊次方程組的解的情況，基本題，在已經(jīng)復(fù)習(xí)完一遍線代后也可以用其它方法（化階梯行、求秩）來做。

 

總的來說，第一章的習(xí)題大都非�；�本，集中于計(jì)算層面的考察，沒有理解上的難度。

 

 

 

同濟(jì)五版《線性代數(shù)》習(xí)題解讀（二）

 

1 、矩陣乘法的基本練習(xí)，簡(jiǎn)單題，但計(jì)算很容易出錯(cuò)，不可輕視，（5）小題實(shí)際上就是第五章要接觸的二次型。

 

2、直接考察矩陣相關(guān)運(yùn)算，基本題。

 

3、矩陣的乘法實(shí)際上是表示一個(gè)線性變換，題目給出了從y到x的變換，還給出了從z到y的變換，要求z到x的變換。既然一個(gè)矩陣可以表示一個(gè)線性變換，兩個(gè)矩陣的乘積即可理解為兩個(gè)變換的疊加，這也是提供了一個(gè)側(cè)面去理解矩陣相乘的意義。

 

4、5題實(shí)際上都是通過一些具體的例子來加深對(duì)矩陣運(yùn)算的理解，比如矩陣乘法不能交換、不能像數(shù)乘那樣約去因子，等等，這些例子是比較重要的，因?yàn)橛袝r(shí)能在考場(chǎng)上派上用場(chǎng)，需要熟悉。

 

6、7題是求矩陣乘方的題目，基本題，但要注意些適當(dāng)?shù)募记�，比如拆成兩個(gè)特殊矩陣的和，能簡(jiǎn)化運(yùn)算。

 

8、9是關(guān)于對(duì)稱陣概念的考查，不難但重要，因?yàn)檫@類題即是線代里證明題的代表：幾乎都要從定義出發(fā)證明。所以從這兩道題得到的啟發(fā)是要把線代上的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都摳得足夠細(xì)，了然于心。

 

10、11、12都是矩陣求逆的計(jì)算題，只不過表達(dá)方式不同，10題是直接提出要求，11題是以矩陣方程的形式來暗示求逆，12題則從線性方程組的角度來暗示求逆。求逆是錯(cuò)誤率很高的一類題目，所以需要重點(diǎn)練習(xí)。

 

13、和3題類似，矩陣的乘法實(shí)際上是表示一個(gè)線性變換，題目給出了從y到x的變換——可以用一個(gè)矩陣表示，反過來求x到y的變換，求逆陣即可。此題的另外一個(gè)暗示：要能夠熟練的掌握從方程組到矩陣的寫法，即矩陣方程x=Ay代表一個(gè)線性方程組，或者說一個(gè)線性變換，對(duì)這兩種寫法都要能夠看到一個(gè)馬上反應(yīng)到另一個(gè)。

 

14、考察矩陣和其逆陣、伴隨陣的關(guān)系，同時(shí)把行列式加進(jìn)來，綜合性較強(qiáng)的重要題型。

 

15、16解簡(jiǎn)單的矩陣方程，注意先對(duì)已知等式做一些適當(dāng)?shù)淖冃�，基本題。

 

14、15證明矩陣可逆，從定義出發(fā)即可，注意從題目中體會(huì)思路。

 

16、考察矩陣和其逆陣、伴隨陣的關(guān)系，同時(shí)把行列式加進(jìn)來，綜合性較強(qiáng)的重要題型。

 

17、18稍微復(fù)雜一些的矩陣方程，因?yàn)槠渲猩婕暗桨殡S陣，但也不難，利用好伴隨陣和逆陣的關(guān)系即可簡(jiǎn)化，此二題的難度接近考研中的填空題。

 

19、20是矩陣的乘方（多項(xiàng)式實(shí)質(zhì)也是乘方）運(yùn)算，在復(fù)習(xí)完一遍線代后再看發(fā)現(xiàn)這其實(shí)就是特征值特征向量（對(duì)角化）的一個(gè)應(yīng)用，實(shí)際上特征值問題本來就可以理解為是為了尋找矩陣乘方運(yùn)算的捷徑而發(fā)展起來的，只不過后來發(fā)現(xiàn)特征值還有許多其它很好的用處。

 

21、22證明矩陣可逆，從可逆的定義出發(fā)即可，即若能找到某一矩陣與已知矩陣的乘積為單位陣，那么已知矩陣肯定可逆，注意從這兩道題目中體會(huì)這種常用的思路。

 

23、24題本身的證明是從定義出發(fā)，更重要的是這兩道題可以作為結(jié)論記的，線代的考研題目常涉及這兩個(gè)命題。在線代的學(xué)習(xí)中，把握好一些不是課本上正面給出（如出現(xiàn)于習(xí)題中）的命題是很有好處的。

 

25、26、27、28都是對(duì)分塊矩陣運(yùn)算的考查，作為適當(dāng)?shù)木毩?xí)，是必要的。在分塊矩陣這部分知識(shí)點(diǎn)特別要注意的是：要能夠根據(jù)問題的需要采取適當(dāng)?shù)姆謮K方式，典型的如行分塊和列分塊，一個(gè)線性方程組可以用矩陣Ax=b來表示，一個(gè)矩陣方程AX=B則可看作是若干個(gè)線性方程組A(x1 x2 ... xn)=(b1 b2 ... bn)同時(shí)成立的結(jié)果，當(dāng)然這只是一個(gè)典型的里子，其它還有很多類似的點(diǎn)也要熟練到能夠在頭腦中隨時(shí)切換，以適應(yīng)不同的解題或理解需要。

 

和第一章類似，第二章的學(xué)習(xí)也主要集中在計(jì)算層面上，我們可以這樣來理解，前兩章的內(nèi)容主要是教會(huì)我們一些線性代數(shù)中基本的運(yùn)算規(guī)則，就如我們以前學(xué)數(shù)的加減乘除一樣，這些規(guī)則當(dāng)然是認(rèn)為規(guī)定的，但是又是在解決某些實(shí)際問題的過程中會(huì)大量用到的，所以有必要先統(tǒng)一進(jìn)行了解和學(xué)習(xí)，比如求行列式可以幫助我們解方程，求矩陣的乘積可以幫助我們進(jìn)行坐標(biāo)變換，等等。

 

同濟(jì)五版《線性代數(shù)》習(xí)題解讀（三）

 

1、用初等變換把矩陣化為最簡(jiǎn)行階梯形，基本運(yùn)算的練習(xí)，實(shí)際上也可以化為階梯行而不一定非要最簡(jiǎn)，這類計(jì)算要多加練習(xí)，需純熟掌握。

 

2、3表面上是要求一個(gè)能使已知矩陣化為行最簡(jiǎn)形的可逆陣，實(shí)際上是考察初等矩陣，因?yàn)榛癁樾凶詈?jiǎn)形的過程就是初等變換過程，對(duì)應(yīng)的是一系列初等矩陣的乘積，把這一過程搞清楚了，要求的矩陣也就相應(yīng)清楚了。要知道一個(gè)初等矩陣對(duì)應(yīng)一個(gè)初等變換，其逆陣也是，從這個(gè)意義上去理解可以有效解決很多問題。

 

4、求矩陣的逆陣的第二種方法（第一種是伴隨陣），基本題，同時(shí)建議把這兩種方法的來龍去脈搞清楚（書上相應(yīng)章節(jié)有解釋），即為什么可以通過這兩種方法求逆陣。

 

5、6是解矩陣方程，關(guān)鍵還是求逆，復(fù)習(xí)過一遍線代的同學(xué)就不用拘泥于一種方法了，選擇自己習(xí)慣的做法即可。

 

7、考察矩陣秩的概念，所以矩陣的秩一定要搞清楚：是不為零的子式的最高階數(shù)。所以秩為r的話只需要有一個(gè)不為零的r階子式，但所有的r+1階子式都為零；至于r-1階子式，也是有可能為零的，但不可能所有的都為零，否則秩就是r-1而不是r了。

 

8、還是涉及矩陣的秩，矩陣減少一行，秩最多減1，也可能不減，不難理解，但自己一定要在頭腦中把這個(gè)過程想清楚。

 

9、主要考查矩陣的秩和行（列）向量組的秩的關(guān)系，實(shí)際上它們是一致的，因?yàn)橐呀?jīng)知道的兩個(gè)向量是線性無關(guān)的，這樣此題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單問題：在找兩個(gè)行向量，與條件中的兩個(gè)行向量組成的向量組線性無關(guān)，最后由于要求方陣，所以還要找一個(gè)向量，與前面四個(gè)向量組和在一起則線性相關(guān)，最容易想到的就是0向量了。

 

10、矩陣的秩是一個(gè)重要而深刻的概念，它能夠反映一個(gè)矩陣的最主要信息，所以如何求矩陣的秩也就相應(yīng)的是一類重要問題。矩陣的初等行（列）變換都不會(huì)改變其秩，所以可以混用行、列變化把矩陣化為最簡(jiǎn)形來求出秩。

 

11題是一個(gè)重要命題，經(jīng)�？梢灾苯幽脕碛茫�至于它本身的證明，可以從等價(jià)的定義出發(fā)：等價(jià)是指兩個(gè)矩陣可以經(jīng)過初等變換互相得到，而初等變換是不改變矩陣的秩的，所以等價(jià)則秩必相等。實(shí)際上11題因?yàn)樘�過常用，以至于我們常常認(rèn)為秩相等才是等價(jià)的定義，不過既然是充分必要條件，這樣理解也并無不可。

 

12、選取合適的參數(shù)值來確定矩陣的秩，方法不止一種，題目不難但比較典型。

 

13、14題是求解齊次、非齊次方程組的典型練習(xí)，務(wù)必熟練掌握。

 

15、線性方程組的逆問題，即已知解要求寫出方程，把矩陣的系數(shù)看做未知數(shù)來反推即可，因?yàn)榛�礎(chǔ)解系中自由未知量的個(gè)數(shù)和有效方程正好是對(duì)應(yīng)的，個(gè)人感覺這類題不太重要。

 

16、17、18題是線性方程組的一類典型題，考研常見題型，討論不同參數(shù)取值時(shí)解的情況，要熟練掌握這類題目。

 

19、證明本身不是很重要，重要的是由題目得到的啟示：由一個(gè)向量及其轉(zhuǎn)置（或一個(gè)列向量一個(gè)行向量）生成的矩陣其秩一定是1。這實(shí)際上也不難理解，矩陣的秩是1意味著每行（或每列）都對(duì)應(yīng)成比例，即可以寫成某一列向量乘行向量的形式，列向量的元素就是每行的比例系數(shù)，反過來也一樣，這個(gè)大家可自行寫一些具體的例子驗(yàn)證，加深印象。另外值得注意的是：列向量乘行向量生成的是矩陣，而行向量乘列向量生成的是數(shù)。

 

20、考察的是矩陣的運(yùn)算對(duì)矩陣秩的影響，抓住R(AB)<=min(R(A),R(B))這個(gè)關(guān)鍵命題即可�；蛘邚耐�解方程組角度出發(fā)，即要證明兩個(gè)矩陣秩相等，可證其方程組同解。

 

21、注意A是否可逆未知，故不能用求逆的方法證明，這是易犯的錯(cuò)誤之一。實(shí)際上該題考察的還是方程組只有零解的條件：滿秩。關(guān)鍵一步在于把條件改寫為A(X-Y)=0

 

前兩章的習(xí)題以鍛煉計(jì)算能力為主，從第三章開始理解層面的內(nèi)容逐漸增多，很多概念要引起重視。

 

同濟(jì)五版《線性代數(shù)》習(xí)題解讀（四）

 

首先說一下，第四章的精華就在于勾勒出了向量組、矩陣和線性方程組之間的關(guān)系，它們共同形成一個(gè)線性代數(shù)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，習(xí)題四中的證明題基本上都是對(duì)思維的鍛煉，做好這些證明題有助于加深對(duì)線代知識(shí)點(diǎn)相互關(guān)系的理解，要重點(diǎn)對(duì)待。

 

1、涉及一個(gè)重要的知識(shí)轉(zhuǎn)換，即一個(gè)向量能否被另一個(gè)向量組線性表出的問題實(shí)際上就是一個(gè)線性方程組是否有解的問題，同時(shí)，一個(gè)向量組是否能被另一個(gè)向量組線性表出的問題實(shí)際上就是兩個(gè)向量組的秩的比較問題，所以此題即轉(zhuǎn)化為考察兩個(gè)向量組的秩的大小。因?yàn)槲覀冎�道一個(gè)重要的事實(shí)：一個(gè)向量組不可能由比它秩更小的向量組來線性表出，例如，三維空間里的向量（秩是3）永遠(yuǎn)不可能由平面上的向量（秩是2）來表出。

 

2、考察向量組的等價(jià)，搞清楚何為向量組等價(jià)，直接驗(yàn)證即可，基本題。另外可以發(fā)散一下思維，向量組等價(jià)和矩陣等價(jià)有何不同？哪個(gè)命題的結(jié)論更強(qiáng)？實(shí)際上向量組等價(jià)則對(duì)應(yīng)矩陣一定等價(jià)，反之未必。

 

3、與線性表出有關(guān)的命題，一般用反證法，這類題目可以有效的鍛煉解題思路，如果不會(huì)要重點(diǎn)體會(huì)答案給出的方法和思路。

 

4、5題涉及線性相關(guān)和線性無關(guān)的判斷，實(shí)際上還是轉(zhuǎn)化為方程組有解無解的問題，基本題。

 

6題考察對(duì)兩個(gè)向量線性相關(guān)的理解，實(shí)際上就是對(duì)應(yīng)成比例，但實(shí)際上很多類似的題目不僅僅局限于兩個(gè)向量，此題不是太有代表性，了解一下即可。

 

7、8涉及到一些相關(guān)和無關(guān)的命題判斷，重點(diǎn)在于理解題干的意思，如8（1）的錯(cuò)誤在于放大了線性相關(guān)的結(jié)論，因?yàn)榫�性相關(guān)只需要至少有一個(gè)向量可由其余向量表示，而不一定能確定到底是哪個(gè)向量能用其余向量表示，類似的去理解清楚其余幾個(gè)說法要表達(dá)的意思，這是第一要?jiǎng)?wù)。至于反例倒在其次，可以通過參考書的答案看看，了解下有這樣的反例即可。

 

9、10題是證明線性相關(guān)線性無關(guān)的經(jīng)典題，可先假設(shè)其線性組合為零，然后推證系數(shù)的情況，若系數(shù)可不全為零則線性相關(guān)，若系數(shù)必須全為零則線性無關(guān)，重點(diǎn)題型。

 

11、12考察如何求一個(gè)向量組的秩和最大無關(guān)組，注意求向量組的秩只能用一種變換（一般用行變化），化為階梯形即一目了然，基本題型的練習(xí)，要熟練掌握。

 

13、通過秩來確定參數(shù)，基本題，只不過這里是以向量組的形式給出條件，和以線性方程組、矩陣的形式給出條件無本質(zhì)區(qū)別。

 

14、15是向量組的命題，注意單位坐標(biāo)向量的特殊性：線性無關(guān)。另外14題就是15題的特殊情況。

 

16、用反證法，此題的巧妙之處在于要逐步遞推，這是線代習(xí)題中少有的過程比結(jié)論重要的題目（大多習(xí)題都是結(jié)論常用所以顯得更重要），注意仔細(xì)體會(huì)證明過程。

 

17、就是習(xí)題三的20題，只不過是以向量組的說法給出。

 

18、應(yīng)該從此題中體會(huì)到的是：兩個(gè)向量組等價(jià)，則其關(guān)系矩陣一定是滿秩的，原因可用矩陣的語(yǔ)言來解釋：兩個(gè)向量組等價(jià)實(shí)際上就是通過一系列初等變換可互化，關(guān)系矩陣就是這些所所有初等變換對(duì)應(yīng)的初等矩陣的乘積，初等矩陣全部都是滿秩的。

 

19、題目本身不難，直接代入已知條件再作適當(dāng)?shù)淖冃渭纯�，但�?fù)習(xí)過一遍線代的同學(xué)應(yīng)該注意到，特征值與特征向量的一些概念在此題中已經(jīng)初現(xiàn)端倪，要把思路拓寬，看看從特征向量的角度來看是否能對(duì)題目有新的體會(huì)。

 

20、齊次線性方程組的練習(xí)，基本題型，必需的練習(xí)，尤其是（3）這類系數(shù)由通式給出的方程，在考研中出現(xiàn)的概率更高，注意不要出錯(cuò)。

 

21、實(shí)際上轉(zhuǎn)化為線性方程組的題目，也是基本題型。

 

22、就是習(xí)題三的15題，兩者無本質(zhì)區(qū)別。

 

23、基本題，求方程組的基礎(chǔ)解系，另外注意公共解實(shí)際上就是方程組聯(lián)立后的結(jié)果。

 

24、題目涉及的重要命題有兩個(gè)，一是：若AB=0，則R(A)+R(B)<=0；另一個(gè)是：R(A)+R(B)>=R(A+B)。至于證明本身，只是這兩個(gè)命題在某種特殊情況下的綜合應(yīng)用，解答過程給我們的提示相對(duì)來說是更重要的。

 

25、與伴隨陣的秩有關(guān)的著名命題，常用結(jié)論，一定要掌握。證明過程很多參考資料都給出了。

 

26、非齊次線性方程組的練習(xí)，基本題型。

 

27、考察線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，較好的融合了該部分的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，通過此題的練習(xí)可以加深解的結(jié)構(gòu)相關(guān)概念的理解。

 

28、討論參數(shù)取值對(duì)方程組的解的影響，基本題，以向量組的語(yǔ)言給出而已。

 

29、把線性方程組和空間解析幾何的知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合的一道題目，可以作為一個(gè)提高練習(xí)，不強(qiáng)求掌握。

 

30、以抽象的向量形式給出線性方程組的問題，考研典型題之一，解決此題需要綜合應(yīng)用線性方程組和向量組的若干知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)掌握和理解的對(duì)象。

 

31、32、33都是涉及解的結(jié)構(gòu)的證明題，其中對(duì)基礎(chǔ)解系的理解要清晰：基礎(chǔ)解系是線性無關(guān)的，同時(shí)所有的解都可由基礎(chǔ)解系表示，由此可見基礎(chǔ)解系本身就給出了許多強(qiáng)有力的信息，這個(gè)在題目中一定要多加利用。同時(shí)還有一些解的結(jié)構(gòu)的命題，如非次方程解的差即齊次方程解，等等，也可以通過這幾道練習(xí)中來加強(qiáng)理解和掌握。

 

34及以后的向量空間的題目都不作要求，最多是40題的過渡矩陣了解一下即可，具體解法可參加書上例題，這里不再詳述。

 

通過三、四章的學(xué)習(xí)和練習(xí)，我們體會(huì)到，要學(xué)好線代，需要建立起良好的思維習(xí)慣，即面對(duì)線性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，常常需要從不同的角度（方程組角度、向量組角度和矩陣角度）去理解同一個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)或數(shù)學(xué)命題，并且它們通常還是可以互推的，所以在線代里，“見一反三”非常重要，一旦抓住了整個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，線代就會(huì)成為考研數(shù)學(xué)里最簡(jiǎn)單的一環(huán)。

 

 

同濟(jì)五版《線性代數(shù)》習(xí)題解讀（五）

 

1、涉及與正交相關(guān)的條件的基本計(jì)算題，可作為運(yùn)算方面的練習(xí)。

 

2、施密特正交化的計(jì)算，很重要的基本題，要注意的是施密特正交化的計(jì)算公式難于記憶，最好是把正交化的整個(gè)過程搞清楚，也就是說：給你一組向量，你要把它們化成正交的，怎么做？可以先考慮簡(jiǎn)單情形，兩個(gè)向量怎么正交化？很簡(jiǎn)單，只要一個(gè)向量減去它在另外一個(gè)上的投影就可以了。那三個(gè)向量怎么正交化？先把其中兩個(gè)正交化，然后第三個(gè)減去它在另外兩個(gè)的平面上的投影就好了。依次類推，就不難理解施密特正交化中每個(gè)公式的意義了。

 

3、判斷矩陣是不是正交陣，按定義即可，基本題。

 

4、5是簡(jiǎn)單的涉及正交矩陣概念的證明題，從定義出發(fā)，都不難得到結(jié)論。

 

6、求特征值和特征向量的基本題型，需要練習(xí)純熟。

 

7、證明特征值相同，按特征值定義即可，此命題可作為結(jié)論用。

 

8、較難的一道題，把線代里幾個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)都綜合在一起考察，關(guān)鍵在于問題的轉(zhuǎn)化：有公共的特征向量問題即兩個(gè)方程組有公共解的問題，然后用與方程組的基礎(chǔ)解系有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)解決，要重點(diǎn)體會(huì)解題思路。

 

9、10、11都是與特征值有關(guān)的一些命題，從定義出發(fā)不難證明，線代里的概念大多都要從定義上去抓住它們，把它們理解好。其中10題是一個(gè)常用的結(jié)論。

 

12、13是特征值性質(zhì)的應(yīng)用，即特征值與矩陣特有的對(duì)應(yīng)關(guān)系，比如矩陣作多項(xiàng)式運(yùn)算，則其特征值也就該多項(xiàng)式規(guī)律變化，基本題，也是常見題型。

 

14、考察相似的概念，仍然是要把握好定義，何為相似？

 

15、16題涉及到相似對(duì)角化，這就要求把相似對(duì)角化的條件搞清楚，那么什么樣的矩陣可相似對(duì)角化？條件是特征向量線性無關(guān)，從這點(diǎn)出發(fā)就可以解決問題。至于16（1）則是特征值特征向量定義的直接考察。

 

17、18涉及到求矩陣的乘方，實(shí)際上特征值特征向量問題就可以看作是為了簡(jiǎn)化矩陣乘方運(yùn)算提出的，這里自然是化為對(duì)角陣以后計(jì)算，18題是應(yīng)用題形式。

 

19、20題涉及正交的相似變換矩陣，基本題，計(jì)算量較大且容易出錯(cuò)，是值得重視的練習(xí)。

 

21、22、23題則是特征值問題的反問題，實(shí)際上把已知的對(duì)角矩陣看作出發(fā)點(diǎn)即可。值得注意的是：對(duì)一般矩陣來說，不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是線性無關(guān)的；對(duì)對(duì)稱矩陣來說，不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量不僅線性無關(guān)，還是正交的，這顯然是個(gè)更有用的結(jié)果。

 

24是一個(gè)重要命題，它涉及到由一個(gè)列向量生成的矩陣的特征值問題。實(shí)際上有一個(gè)列向量生成的矩陣其秩是1，而且是對(duì)稱的，所以必可對(duì)角化，故0是其n-1重特征值，至于非零特征值，也不難求出，就是這個(gè)列向量轉(zhuǎn)置后生成的數(shù)。此題的結(jié)論很常用，要重點(diǎn)掌握。

 

25題涉及求矩陣的多項(xiàng)式運(yùn)算，不外乎就是乘方運(yùn)算，與17、18題類同。

 

26、27題考察二次型的概念，基本題，要求熟練寫出一個(gè)二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣，反過來也一樣。

 

28、29題考察用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，實(shí)際上就是一個(gè)對(duì)角化的問題，但因?yàn)槭菍?duì)稱矩陣，所以既可正交又可相似對(duì)角化。同時(shí)要注意二次型的幾何意義：是一個(gè)二次曲面。曲面的形狀在不同的坐標(biāo)系下都是一樣的，所以對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的二次型，若不能直接看出它是什么曲面，可以通過化為主坐標(biāo)系下的二次型（即標(biāo)準(zhǔn)型）來進(jìn)行觀察。

 

30、綜合性較強(qiáng)的一道題，轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的條件極值問題即可。

 

31、用配方法化二次型的練習(xí)，基本題，注意計(jì)算不要出錯(cuò)。

 

32、33都是判斷二次型的正定性，對(duì)于具體給出的二次型，用順序主子式的符號(hào)即可判斷，這個(gè)是其中一個(gè)充分必要條件。

 

34、實(shí)際給出了正定的另一個(gè)充分必要條件，證明過程涉及一個(gè)抽象矩陣，故只能從最基本的正定的定義出發(fā)，此命題是一個(gè)有用的結(jié)論，要求掌握。

 

最后是一些線性代數(shù)核心知識(shí)點(diǎn)的相關(guān)思維訓(xùn)練

 

學(xué)好線代的最關(guān)鍵要點(diǎn)在于“見一反三”，即面對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)，都要能夠從線性方程組、向量和矩陣三個(gè)角度來表述和理解它，以便于根據(jù)解決問題的需要選擇合適的切入點(diǎn)。現(xiàn)將一些個(gè)人覺得比較鍛煉思維的習(xí)題匯總?cè)缦�，相信通過對(duì)這些題目涉及的命題及其推理過程進(jìn)行深入思考，會(huì)有助于更進(jìn)一步把握好線代的知識(shí)體系。

 

1、任何一個(gè)向量α=（a1, a2, ..., an）都能由單位向量ε1=（1, 0, ..., 0）、ε2=（0, 1, ..., 0）、……、εn=（0, 0, ..., 1）線性表出，且表示方式唯一。

 

2、向量組α1，α2，…，αn中任一個(gè)向量αi可以由這個(gè)向量組線性表出。

 

3、判斷下列說法正確性：（1）“向量組α1，α2，…，αn，如果有全為零的數(shù)k1, k2, ..., kn使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn=0，則α1，α2，…，αn線性無關(guān)�！保�2）“如果有一組不全為零的數(shù)k1, k2, ..., kn，使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn≠0，則α1，α2，…，αn線性無關(guān)�！保�3）“若向量組α1，α2，…，αn（n≥2）線性相關(guān)，則其中每一個(gè)向量都可以由其余向量線性表出�！�

 

4、三維空間中的任意4個(gè)向量必線性相關(guān)。

 

5、n+1個(gè)n維向量必線性相關(guān)。

 

6、如果向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則向量組2α1+α2，α2+5α3，4α3+3α1也線性無關(guān)。

 

7、如果向量組α1，α2，α3，α4線性無關(guān)，判斷向量組α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1是否線性無關(guān)。

 

8、如果向量β可以由向量組α1，α2，…，αn線性表出，則表出方式唯一的充分必要條件是α1，α2，…，αn線性無關(guān)。

 

9、設(shè)向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)，β=k1*α1+k2*α2+…+kn*αn。如果對(duì)于某個(gè)ki≠0，則用β替換αi后得到的向量組α1，…，α(i-1)，β，α(i+1)，…，αn也線性無關(guān)。

 

10、由非零向量組成的向量組α1，α2，…，αn（n≥2）線性無關(guān)的充分必要條件是每一個(gè)αi（1<i≤n）都不能用它前面的向量線性表出。

 

11、設(shè)α1，α2，…，αn線性無關(guān)，且（β1，β2，…，βn）=A（α1，α2，…，αn），則β1，β2，…，βn線性無關(guān)的充分必要條件是A的行列式為零。

 

12、秩為r的向量組中任意r個(gè)線性無關(guān)的向量都構(gòu)成它的一個(gè)極大線性無關(guān)組。

 

13、任一n維向量組若是線性無關(guān)的，那么其所含向量數(shù)目不會(huì)超過n。

 

14、如果n維向量構(gòu)成的向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)，那么任一n維向量β可由α1，α2，…，αn線性表出。

 

15、如果任意的n維向量都可以由α1，α2，…，αn線性表出，那么α1，α2，…，αn線性無關(guān)。

 

16、如果秩為r的向量組可以由它的r個(gè)向量線性表出，則這r個(gè)向量構(gòu)成的向量組就是它的一個(gè)極大線性無關(guān)組。

 

17、n個(gè)方程的n元線性方程組x1*α1+x2*α2+…+xn*αn=β對(duì)任何β都有解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式為零。

 

18、如果向量組α1，α2，…，αn和向量組α1，α2，…，αn，β有相同的秩，則β可以由α1，α2，…，αn線性表出。

 

19、r（α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βm）≤r（α1，α2，…，αn）+r（β1，β2，…，βm）。

 

20、矩陣的任意一個(gè)子矩陣的秩不會(huì)超過原矩陣的秩。

 

21、如果m*n的矩陣A的秩為r，那它的任何s行組成的子矩陣A1的秩不會(huì)小于r+s-m。

 

22、如果一個(gè)n*n矩陣至少有n^2-n+1個(gè)元素為0，則這個(gè)矩陣不是滿秩矩陣。

 

23、如果一個(gè)n*n矩陣至少有n^2-n+1個(gè)元素為0，那么這個(gè)矩陣的秩最多是多少？

 

24、設(shè)η1，η2，…，ηt是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則與η1，η2，…，ηt等價(jià)的線性無關(guān)的向量組也是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。

 

25、設(shè)n元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩是r（r<n），則方程組的任意n-r個(gè)線性無關(guān)的解向量都是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。

 

26、設(shè)n元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩是r（r<n），設(shè)δ1，δ2，…，δm是方程組的解向量，則r（δ1，δ2，…，δm）≤n-r。

 

27、設(shè)n個(gè)方程的n元線性方程組的系數(shù)矩陣A的行列式等于零，同時(shí)A至少存在一個(gè)元素的代數(shù)余子式A(kl)不為零，則向量（A(k1), A(k2), ..., A(kn)）是這個(gè)齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。

 

28、設(shè)A1是s*n矩陣A的前s-1行組成的子矩陣，如果以A1為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解都是方程a(s1)*x1+a(s2)*x2+…+a(sn)*xn=0的解，其中a(ij)是矩陣A的元素，則A的第s行可以由A的前s-1行線性表出。

 

29、n個(gè)方程的n元非齊次線性方程組有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)它對(duì)應(yīng)的齊次方程組只有零解。

 

30、如果η1，η2，…，ηt都是n元非齊次線性方程組的解，并且有一組數(shù)u1，u2，…，un滿足u1+u2+...+un=1，則u1*η1+u2*η2+…+ut*ηt也是方程組的一個(gè)解。

 

31、如果ν0是非齊次線性方程組的一個(gè)特解，η1，η2，…，ηt是它對(duì)應(yīng)的齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，令ν1=ν0+η1，ν2=ν0+η2，…，νt=ν0+ηt，則非齊次線性方程組的任意一個(gè)解可以表示為ν=u0*ν0+u1*ν1+u2*ν2+...+ut*νt，其中u0+u1+u2+...+ut=1。

 

32、設(shè)A是s*n矩陣，如果對(duì)于任意列向量η，都有Aη=0，則A=0。

 

33、兩個(gè)n級(jí)上三角矩陣的乘積仍是n級(jí)上三角矩陣，且乘積矩陣的主對(duì)角元等于因子矩陣的相應(yīng)主對(duì)角元乘積。

 

34、與所有n級(jí)矩陣可交換的矩陣一定是n級(jí)數(shù)量矩陣。

 

35、對(duì)任一s*n矩陣A，AA'和A'A都是對(duì)稱矩陣。

 

36、兩個(gè)n級(jí)對(duì)稱矩陣的和仍是對(duì)稱矩陣，一個(gè)對(duì)稱矩陣的k倍仍是對(duì)稱矩陣。

 

37、兩個(gè)n級(jí)對(duì)稱矩陣的乘積仍是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是它們可交換。

 

38、對(duì)任一n級(jí)矩陣，A+A'都是對(duì)稱矩陣，A-A'都是反對(duì)稱矩陣。

 

39、任一n級(jí)矩陣都可以表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和。

 

40、如果A是n級(jí)對(duì)稱矩陣，并且A*A=0，則A=0。

 

41、r（A+B）≤r（A）+r（B）。

 

42、如果一個(gè)矩陣的行（列）向量組是線性無關(guān)的，則稱為行（列）滿秩矩陣。如果一個(gè)s*n的矩陣A的秩為r，則有s*r的列滿秩矩陣B和r*n的行滿秩矩陣C存在，使得A=BC。

 

43、設(shè)A是n級(jí)矩陣，若AA'=E，則A的行列式為1或-1。

 

44、如果矩陣A可逆，則A*也可逆，求A*的逆陣。

 

45、可逆的對(duì)稱矩陣的逆矩陣仍然是對(duì)稱矩陣。

 

46、如果A^k=0，則A-E可逆，求其逆陣。

 

47、設(shè)A、B分別為s*n，n*m矩陣，如果AB=0，則r（A）+r（B）≤n。

 

48、設(shè)A是n級(jí)矩陣，且A≠0，則存在一個(gè)n*m的非零矩陣，使AB=0的充分必要條件是A的行列式為零。

 

49、如果n級(jí)矩陣A滿足A*A=E，則r（A+E）+r（A-E）≤n。

 

50、設(shè)A是一個(gè)s*n矩陣，β是任意一個(gè)s維向量，則n元線性方程組A'Ax=A'β一定有解。

 

51、設(shè)A是一個(gè)n級(jí)方陣，且r（A）=1，則A能表示成一個(gè)列向量與一個(gè)行向量的乘積。

 

52、設(shè)A是n級(jí)矩陣（n≥2），則A*的行列式等于A的行列式的n-1次方。

 

53、設(shè)A是n級(jí)矩陣（n≥2），則當(dāng)r（A）=n時(shí)，r（A*）=n；當(dāng)r（A）=n-1時(shí)，r（A*）=1；當(dāng)r（A）<n-1時(shí)，r（A*）=0。

 

54、設(shè)A、B分別是s*n，n*m的矩陣，則矩陣方程AX=B有解的充分必要條件是r（A）=r（A, B）。

 

55、設(shè)A、B分別是s*n，n*m矩陣，則r(AB)≥r（A）+r（B）-n。

 

56、設(shè)C是s*r的列滿秩矩陣，D是r*n的行滿秩矩陣，則r（CD）=r。

 

其中55題難度較大，不作強(qiáng)求。另外補(bǔ)充說明一下，可能一開始大家完成這些題目的證明時(shí)有的需要在書面上推導(dǎo)，但熟悉了以后再重看的話，應(yīng)該是可以僅憑頭腦中的推理完成的，換句話說，我們的最終目的是不動(dòng)一紙一筆把這幾十道題目的來龍去脈勾畫清楚，所以前面提到是“思維的訓(xùn)練”，做到這一點(diǎn)的話，線代基本就可算是學(xué)到家了。